Karmaşıklık (Bölüm 8) (Ateşan Aybars, 12 Nisan 2021)

Kaos Eşiği

Doğa yasalarının simetrik olduğunu ve dengeli sistem entropisinin düşük olduğunu biliyoruz. Entropi kaosta maksimumdur ama sistem hemen öncesinde kaos eşiğinden geçer. Tanım olarak kaos eşiği, düzen ve kaos arasında dinamik bir geçiş alanı olarak kabul edilir ve bu geçiş alanı faz geçişleri ve simetri kırılması ile sonuçlanır. Diğer bir anlatımla, kaosa giden yolda sistemin düzen ve kaos arasında davranışı karmaşıklığın en fazla olduğu süreçtir ve bu süreçte, faz geçişleri ve çok defa simetri kırılması, kendiliğinden yapılanma, belirim ve evrim özellikleri gözlenir. Bu karmaşık davranış sürecinde (düzen ve kaos arası) ne denge vardır ne de kaos. Düzen ucunda iş yapabilecek kadar denge vardır ama yaratıcılık yoktur, düzensiz  (kaos) uçta ise karmaşıklık çok fazladır ve sistem faydalı iş yapamaz. Yani, kaos eşiğinde sistem, bilgi toplayacak kadar düzenli ama bilgiyi ancak değerlendirebilecek kadar varlığını sürdürebilen spontane sistem durumundadır.

Şekil 1.2.17. Doğrusal dinamik sistem davranışları denge alanıdır. Yaratıcı alan doğrusalsız dinamik sistem davranış alanıdır ve kaos eşiğine doğru gelişir. Yaratıcı alan birçok bilim insanına göre evrim, epigenetik, kuvantum tuhaflıkları gibi oluşumların alanıdır. Kaos eşiğinde simetri kırılması ve faz geçişleri ile kaos alanına geçilir. 

Differensiyal denklemlerin geçerli olmadığı bu alanda yani matematik olarak algoritmalar kullanılır. Genel olarak, karmaşık fiziksel sistemlerin incelenmesinde, dama tahtası benzeri yatay ve dikey çizgilerin oluşturduğu hücrelerin içindeki sabit elemanların (hücresel otomata) bitişik hücrelerle etkileşimi araştırılır. Yatay ve dikey çizgilerle oluşan alan sınırlı veya sınırsız olabilir. Bitişik (komşu) hücrelerin etkileşimini yasalar (basit kurallar) belirler. Yani, tüm karmaşık fiziksel sistemlerin modellemesinde evrensel yasa (kurallar) ve bir geometri (dama tahtası) vardır. 

Hücresel otomata. Hücresel otomata terimi ilk defa 1940 yılında John von Neumann ve Stanislaw Ulam tarafından önerildi ve bilgisayar mimarisinde çok hızlı ve devasa ölçülerde bilgi işlemleme (enformasyon processing) amacıyla kullanılıyordu. Sonrasında hücresel otomata bilgisayarlarda paralel hesaplama ve moleküler biyoloji hesaplarında ideal bir modelleme aracı olarak düşünüldü. John von Newmann programlanabilen bilgisayarlar üzerinde çalışırken o dönemde kimsenin hayal bile etmediği kendi kendini üreten biyolojik bilgisayar tasarlamaya odaklanmıştı. Stanislaw Ulam’ın hücresel otomata benzeri tavsiyesi ile çalışmalarını yoğunlaştırdı. “Theory of Self Production Automata” isimli kitabı oldukça teknik olmakla birlikte John von Neumann çalışmalarıyla, sadece biyolojik sistemlerin özelliği olarak bilinen kendiliğinden örgütlenme olgusunu makineler için de göstermiş oldu.

Hücresel otomata, karmaşık sistemlerde bilgi işlemleme ve genetik algoritmalarla evrimleşme konularını içeren mükemmel bir modelleme aracı olarak kullanılırlar. Nitekim kısa sürede fizik, jeoloji, kimya, biyoloji, ekonomi, sosyoloji gibi disiplinlerde modelleme aracı olarak yerini aldı ve hücresel otomata gibi basit bir eleman, basit kurallarla çok çeşitli sistemlere uygulanmaya başlandı. Ayrıca, bu basit elemanlar arasında etkileşim için çok basit kuralları olmasına rağmen belirim ve kendiliğinden örgütlenme gibi soyut yeni kavramların da modellenmesinde sıklıkla kullanılıyor. 

Kısaca, hücresel otomatanın ideal modelleme aracı olarak kullanılmasının nedeni; hücre elemanlarının merkezi bir kontrol sistemine bağlı olmayışı, bilgi işlemleme ve hesaplama imkânlarının mükemmel olması ve en önemlisi hücresel otomatanın evrimleşmesi ve çevresine uyum sağlama yetisidir. 

John von Neumann’ın biyolojiye uygulanan hücresel otomata çalışmalarından etkilenen İngiliz matematikçi John Conway 1970 yılında popüler yaşam oyununu (game of life) tasarladı. Aslında yaşam oyunu tabii ki bir oyun değil matematik hesapları yapabilen ve basit kurallarla son derece karmaşık davranışlara yol açan bir modelleme.

Yaşam oyununun tüm hücreler için basit kuralları; 

1. Canlı hücreler siyah, cansız hücreler beyaz renkle gösterilmiştir. Herhangi bir beyaz hücrenin 8 komşusundan 3’ü siyah ise bir sonraki evrede (time step) beyaz hücre siyah hücreye dönüşür, aksi hâlde beyaz kalır.
2. Herhangi bir siyah hücrenin 2 ya da 3 komşusu siyah ise hücre siyah olarak kalır, aksi hâlde beyaz hücreye dönüşür. Tüm hücreler eş zamanlı güncellenir.

                                                                         

Şekil 1.2.18. Yaşam Oyunu.

Şekil 1.2.18’de John Conway’ın siyah kutulardan oluşan şekli “glider” olarak bilinir (biz ona havacılık terimi ile planör diyelim). Yukarıdaki basit kurallara göre tek tek güncellemeler, sırasıyla Şekil 1.2.19’da 2, 3, 4 ve 5 ile gösterilen değişimler gösteriliyor. Dikkat edilirse, 1 numaralı şekil 5. güncellemede (time steps) kendisini tekrarladı. Yani, hücresel otomata iki basit kural çerçevesinde farklı bir yerde (sağda ve aşağıda) yeni bir planöre dönüştü. Sınırlı iletişimin olduğu bu dönüşümde herhangi bir merkezi kontrol yok (hiçbir hücre diğerinden sorumlu değil), hücresel otamata çevre hücrelere uyum sağlayarak kendiliğinden organize olma belirim ve özellikleri gösteriyor.  

Sekil 1.2.19. Tek boyutlu, tek durumlu hücresel otomata.

Yukarıdaki örnekte, başlangıç koşulları olarak bir planör seçildi ve 5 adımda (time step) kendisini yenilediğini gördük. Başlangıç koşulları entropisi yüksek rastgele seçilmiş siyah hücreler ile başlasaydı (hücresel otomata) sistem davranışı, önceden kestirilemeyen ama belirli düzenlilik gösteren çeşitli yapılara, bir çekici (attractor) etrafında dengeye veya tamamen kaotik bir yapıya dönüşebilirdi. Dinamik sistemlerin başlangıç koşullarına aşırı hassas olduklarını, ufak değişiklilerin beklenmedik davranışlara neden olacağını biliyoruz. Özet olarak, hücresel otomata karmaşık sistemlerin davranış kalıplarını (1) basit bir çeker (fixed point attractor) etrafında dengeli yapılara dönüştürebilir, (2) farklı periyotlarda salınım (oscillation) etrafında denge bulan yapılara dönüştürebilir ya da (3) kaotik yapıyla karmaşık davranış gösterebilir. Dolayısıyla, yaşam oyununa basit bir konfigürasyon ile seçilen hücresel otomata karmaşık sistemlerde çok farklı yapıların oluşmasına yol açıyor. Bu tür yapılar çok ayrıntılı, anlaşılması güç olan bilgi yönetim (information process) süreçlerinde, evrim çalışmalarında ise genetic algoritmalar (GAs) popüler modelleme aracı olarak kullanılıyor.

Ateşan Aybars (12 Nisan 2021)

¹ Complexity A Guided Tour, Kindle edition s.20. Melanie Mitchell.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway's_Game_of_Life