Karmaşıklık (Bölüm 10) (Ateşan Aybars, 26 Nisan 2021)

Karmaşık Adaptif Sistemler (KAS)

Karmaşık adaptif sistemler, genel sistem teorisi ile başlayan sistem sınıflandırılmasına göre anlaşılması zor olan sistemlerdir. Karmaşık fiziksel sistemlerden farklı olarak karmaşık adaptif sistem elemanı ajan (agent) olarak bilinir, bu ajanların bağımsız (otonom) olmasından dolayı neden-sonuç ilişkisini bilmek mümkün değildir. Ajanlar çevre ile etkileşimlerinden öğrenir, evrimleşirler ve örgütlenmelerini bir üst hiyerarşiye aktarırlar. Örgütlenmenin bir üst hiyerarşiye taşınması bir başka önemli özellik olan belirim olarak ortaya çıkar. Sistem sınırları ve simetri kırılması ile sıkı sıkıya ilişkili olan belirim, alt hiyerarşi etkileşimlerinden başlayarak sınır değişimi ve simetri kırılmasıyla yeni bir üst hiyerarşide kendini gösterir. Daha önce bahsettiğim suyun ıslaklığı belirime iyi bir örnektir. Karmaşık adaptif sistemlerin davranışı, dinamik sistemlerde olduğu gibi diferansiyel denklemlere bağlı değildir ve sistem bilgisinin değişmesi ve bu değişime adaptasyonu (simetri kırılması ya da faz geçişiyle üst hiyerarşiye yapılanması) karmaşık fiziksel sistemlerde olduğu gibi hızlı değildir, daha yavaş bir adaptasyon sürecidir. Genel olarak kaos eşiği olarak tanımlanan düzen ve kaos arasında çok farklı gerçek dünya davranışları sergilerler. Yapay zekâ, bilişsel bilimler, ekoloji, oyun teorisi, dil bilimi, sosyal bilim, ekonomi, immünoloji, felsefe vb. çok geniş yelpazenin uğraşı alanıdır. Ajanların çok sayıda ve çok bağlantılı olmaları bağlantısallık (connectivity) kavramının anlaşılmasını gerektirir. Bunun için grafik teorisine kısaca değinelim.

Grafik Teorisi. Grafik teorisinin prensi olarak bilinen Leonard Euler’in 1736 yılında “Konigsberg’in yedi köprüsü” sorunuyla başladığı çalışması, teorinin başlangıcı olarak gösterilmesine karşın ortodoks bilim 250 yıldan fazla bir zaman bu teoriye kayıtsız kaldı. Ancak, 1980-90’lı yıllarda kaos teorisini bilime çevirme çabalarının etkisiz kalması üzerine karmaşık sistemleri anlamaya yönelik çalışmalar başlatıldı. Zira grafik teorisinin, karmaşık ağ sistemlerinin en önemli parçası olduğu anlaşıldı. Ağ bilimi son yıllarda hızla gelişen ve gelişime her birkaç yılda teknolojik yenilik katan dinamik ve heyecan verici bir uğraşı alanı oldu. Bu yeni paradigma tamamen bağlantısallıktan kaynaklanıyor. Her bir hücremize yakıt sağlayan metabolik ağdan yaşantımızı şekilleyen sosyal ağlara kadar her tarafımız ağlarla çevrili. İnternetin yükselişinden trafik akışına, finansal piyasalarda balonların ve krizlerlerin yaşanmasından virüslerin yayılmasına kadar her şey için ağ bilimine başvuruluyor. Dolayısıyla, 21. yüzyılda ağ sistemlerinin anlaşılması ve çeşitli modeller vasıtasıyla çözümlenmesi bilim için zorunluluk hâline gelmiştir. Karmaşıklık ve doğrusalsızlık ağ sistemlerinin doğal ve ayrılmaz özelliğidir. Ağ sisteminin elemanları doğrusal olarak çoğalırken (1, 2, 3, ...) aralarındaki bağlantılar üstel olarak çoğalır. Üstel karmaşıklık hesapları zor olduğundan bilgisayarlara başvurulur. 

Sistem davranışlarını anlamak üzere başvurulan grafik teorisi son derece güçlü olmasına karşı uygulanması kolay bir teoridir. Tanım olarak, düğüm (node) denilen bir dizi elemanın (ajan, hücresel otomata) bağlantılar vasıtası (link) ile etkileşimlerini ve çeşitli hiyerarşik seviyelerde sistemlerin davranışını sergiler. Doğal olarak, ağ yapısının karmaşıklığı düğümler arası bağlantıların ne kadar karmaşık olduğuna bağlıdır. Düğümler çok farklı şekillerde bağlanabilir ve aralarındaki ilişkiler pozitif veya negatif geri bildirimler, kendiliğinden yapılanma, belirim gibi sinerjik fenomenlerle daha karmaşık hiyerarşik sistem yapılarına ve davranışlarına neden olurlar. Ağlar mikro, mezo ve makro evren ile ilgili her türlü karmaşıklık ve çeşitliliği kapsarlar. Fiziksel ağ sistemleri (hava, su, gaz, elektrik dağıtım), informasyon ağ sistemleri (internet, intranet, cep telefonları), sosyal ağ sistemleri (Facebook, Twitter, Instagram vs.), akıllı düğümleri olan mantık ağ sistemleri (büyük paralel bilgisayar programları) gibi sınırsız sayıda sistemin davranışı grafik teorisi ile kolaylıkla incelenebilir. Örneğin, 10 düğümlü bir sistemin çeşitli bağlantıları şematik ya da matematik olarak 10x10 kolon-sütun şeklinde matriks olarak gösterilebilir. Genel olarak karmaşık adaptif sistemlerde düğümler ve aralarındaki etkileşim zaman içinde dinamik olarak değişir. Şimdi, ağ bilimine giriş olarak birkaç belirleyici özelliğinden kısaca bahsedeyim.    

Bağlantısallık. Doğrusal anlayışla, çok defa herhangi bir sistemin elemanlarının tek tek analizi cebrik olarak toplandığında tüm sistemin analiz edildiğini biliyoruz. Oysa elemanların birbirleriyle iletişimi söz konusu olduğunda sinerjik katkı ile durum çok farklı olacaktır. Yerel düğümlerin bağlantısallık derecesi diğer düğümlerle ne kadar kolay ya da zor bağlantı yapabileceğini gösterir. Bağlantısallık derecesi yüksek olan ağ sistemlerinde etkileşim daha kolay olduğu gibi nitel özellikler ortaya çıkmaya başlar. 

Uzay.  Ağ geometrisi veya ağ topolojisi alışık olduğumuzdan çok farklı bir uzayda hareket eder. Canlı varlıklar ya da nesneler Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayında hareket eder ama topoloji olarak bilinen bağlantıların geometrisinde tüm ağ elemanları üç boyutlu uzayı genişletir, büker ve her şekle dönüştürebilir. Bilinen en meşhur topolojik örnek bir kahve fincanının simit şekline dönüşmesidir.

Belirim. Ağ, aşağıdan yukarıya doğru yapılanan ama aynı zamanda çevresel kısıtlamalarla yönlendirilen organik bir yapı tipidir. Kitabın birçok yerinde değindiğim belirim, karmaşık adaptif sistemlerin en önemli özelliğidir ve örnekleri doğada, sosyal yaşamda, kültürde, ekonomide, kaos ve düzen arasında bir yerde (kaos eşiği) her zaman karşımıza çıkar. 

Doğrusalsızlık. Yukarıda belirttiğim gibi ağ elemanları lineer olarak çoğalırken (1, 2, 3 vs.) aralarındaki bağlantılar üstel olarak çoğalır. Karmaşıklık ve doğrusalsızlık ağ sistemlerinin doğal özelliklerindendir. Bir ağdaki elemanların sayısı 1, 2, 3, ... doğrusal büyürken aralarındaki bağlantı sayısı katlanarak artabilir. Örneğin, 10-15 kişiden oluşan küçük bir grup insan arasında çok sayıda farklı ağ türü olabilir. 

Global Özellikler. Ağların kümelenmesi çok çeşitli şekillerde yerel ya da küresel olabilir. Bu çeşitliliklerin araştırılması ağ teorisinin konularıdır. Örneğin, sistem içindeki kümelenme modelleri, elemanlar arasındaki bağlantılar ve bu bağlantıların yoğunluğu; birçok küçük grup mu yoksa sadece birkaç büyük grup mu görünüyor? Bu tür sorular ağ yapısının tanımlanmasını ve ağ sisteminin davranışını belirler. 

Ağ Türleri. Ağ türleri çok çeşitlidir, bir listesini oluşturmak mümkün görünmüyor ama temel özellikleri açısından farklı türler tanımlanabilir. Normal olarak gauss dağılımına göre davranan ağ sistemlerinin öteden beri yaygın olduğu ve çok kullanıldığı bilinir ama doğa üstellik yasasına göre davranan fenomenlerle doludur. Örneğin, şirket kullanımı için hazırlanan bir ağ sistemi özel amaca uygun tasarlanabilir, doğrusaldır ama doğa, sosyal vb. sistemlerin çoğu üstellik yasasına göre şekillenirler. Çevremizde karşılaştığımız ağların çoğu böyledir. Uluslararası ticaret, lojistik ağlar, arkadaşlık ağları, terörist ağları, gıda ağları ve benzeri birçok örneklerde önceden kestirilemeyen belirim ortaya çıkar, sistemin yapısı ve davranışı doğrusal değildir.

Ağ Yayılımı. Etkileşimin ağ boyunca nasıl yayılacağı ile ilgilidir. Bir virüs salgınının nasıl yayıldığı ve hangi ağ yapılarının hızlı veya gecikmeli yayılmaya neden olacağı stratejik önemdedir. Bazı parametrelerin değiştirilmesi ile salgının nasıl yayıldığını ya da engellendiğini ağın difüzyon özelliği ile anlamaya çalışırız. Bu tür çabaların amacı herhangi bir saldırıya karşı ağın direncini ve kırılganlığını anlamak içindir. 

Ağ Dinamiği. Ağların zaman içinde nasıl değiştiği gösteren özelliğidir. Bilim insanları ağ sistemlerinin nasıl davrandığını, nasıl yapılandığını ve benzeri özelliklerinin yaşamımızı nasıl etkilediklerini her türlü alanda anlamaya çalışıyorlar. Bazı örneklere bakalım:

Şekil 1.3.1 besin zincirindeki hiyerarşiyi göstermektedir. En ufak üretici organizmadan besin zincirinin tepesine kadar canlıların bağımlılığını gösteren ağ sistemidir. Besin zincirinin her bir seviyesi farklı besini gösterir ve türlerin yok oluşu ekolojik dengeyi bozabilir. 

Ateşan Aybars (26 Nisan 2021)

¹ https://youtu.be/82zlRaRUsaY    Systems Innovation, Graph Theory Overview.

https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory

Karmaşıklık (Bölüm 9) (Ateşan Aybars, 17 Nisan 2021)

Karmaşık fiziki sistemler için yaşam oyununun önemi

Öncelikle, yaşam oyunu ve hücresel otomata karmaşık fiziki sistemlerin en ideal ve basit modelidir, peşinde olduğumuz gerçek dünya sistemlerinin birçok özelliğini açıklarlar. Örneğin, çok sayıda değişken (hücresel otomata) kullanıldığında karmaşık fiziksel sistemlerin ilginç hatta hiç beklenmedik davranışlara yol açtığı gözlenebilir. Yaşam oyununda basit bir planör girdisi yerine hücrelere rastgele (random) birçok hücresel otomata yerleştirerek karmaşıklığı artırabiliriz. Sistemin bu karmaşık girdiye davranışı birçok etkileşimden sonra sabit bir çeker (fixed point) etrafında düşük entropisi olan organize yapılara ya da düşük entropisi olan periyodik yapılara dönüşebilir. Bu özellikleri ile yaşam oyunu ve hücresel otomata enformasyon teorisi için ideal bir model olmaktadır. Ayrıca, yaşam oyununun organize yapıları bilgi işlem süreçlerinde kullanılabilir veya genetik algoritmalar vasıtası ile bilgi işlem yetisi artırılarak karmaşık sistemin çevreye uyumu (evrimi) sağlanabilir. 

John Conway’in yaşam oyununda önce sınırları olan (kapalı) bir sistem ele alınmıştır. Yani, sınırlı yapılara yönelik bir düzendir ve karmaşık sistemin yapıları sınırlıdır. 1970 yılında açık uçlu, sınırları olmayan (açık sistem) bir düzen önerdi. Dolayısıyla, açık sınırlı düzenlerle gerçek dünya fenomenleri daha gerçekçi olarak modellenebilirdi. Günümüzde birçok amatör bilim insanı çok çeşitli uygulamalar üretiyorlar. Hücresel otomata S. Wolfram’ın çalışmalarıyla belirlediği 256 hücresel otomata kuralının dört ayrı sınıflaması, karmaşık sistem davranışlarının anlaşılmasını çok daha ileri seviyelere taşıdı ama bu başka bir kitabın konusu. 

Lojistik Denklem	Hücresel otomata
Xt+1 = f(Xt) = R.Xt (1-Xt)	Latticet+1 = f(latticet)    (f = ECA kural)[1]
Deterministik	Deterministik
Kesikli zaman adımları	Kesikli zaman adımları
X değerleri gerçek sayı	Lattice değerleri siyah ya da beyaz
Dinamikleri; Sabit çeker, periyodik, kaos	Dinamikleri; Sabit çeker, periyodik, kaos
Kontrol parameteresi: R	Kontrol parametresi: ?

Tablo 1.2. Lojistik denklem ve hücresel otomata karşılaştırılması. Kaynak; Complexity, M.Mitchell

Ateşan Aybars (17 Nisan 2021)

_____________________________

[1] Lojistik denklemde, X_t+1 değeri_, f(X_t) fonksiyonunun bir sonraki iterasyon değeridir ve bu değer R parametresine bağlı olarak değişecektir. Benzer şekilde hücresel otomata için Lattice_t+1’in değeri, f(lattice_t) fonksiyonunun kuralları çerçevesinde siyah ya da beyaz olarak belirlenir. Kurallar komşu hücrelere bakarak merkezi hücreyi günceller. Hücresel otomata lojistik denkleme diğer özellikleri ile benzerdir ancak lojistik denklemin kontrol parametresi R’a karşılığı yoktur. Bu konuda Chris Langton’un çalışmaları bir katsayı ortaya çıkarmıştır. Lambda olarak bilinen bu katsayı siyah hücrelerin sayısı ile berlirlenir. Bu konu kitabın amacı dışında olduğundan detaya girilmemiştir. 

Daha fazla bilgi için https://en.wikipedia.org/wiki/Christopher_Langton .

Karmaşıklık (Bölüm 8) (Ateşan Aybars, 12 Nisan 2021)

Kaos Eşiği

Doğa yasalarının simetrik olduğunu ve dengeli sistem entropisinin düşük olduğunu biliyoruz. Entropi kaosta maksimumdur ama sistem hemen öncesinde kaos eşiğinden geçer. Tanım olarak kaos eşiği, düzen ve kaos arasında dinamik bir geçiş alanı olarak kabul edilir ve bu geçiş alanı faz geçişleri ve simetri kırılması ile sonuçlanır. Diğer bir anlatımla, kaosa giden yolda sistemin düzen ve kaos arasında davranışı karmaşıklığın en fazla olduğu süreçtir ve bu süreçte, faz geçişleri ve çok defa simetri kırılması, kendiliğinden yapılanma, belirim ve evrim özellikleri gözlenir. Bu karmaşık davranış sürecinde (düzen ve kaos arası) ne denge vardır ne de kaos. Düzen ucunda iş yapabilecek kadar denge vardır ama yaratıcılık yoktur, düzensiz  (kaos) uçta ise karmaşıklık çok fazladır ve sistem faydalı iş yapamaz. Yani, kaos eşiğinde sistem, bilgi toplayacak kadar düzenli ama bilgiyi ancak değerlendirebilecek kadar varlığını sürdürebilen spontane sistem durumundadır.

Şekil 1.2.17. Doğrusal dinamik sistem davranışları denge alanıdır. Yaratıcı alan doğrusalsız dinamik sistem davranış alanıdır ve kaos eşiğine doğru gelişir. Yaratıcı alan birçok bilim insanına göre evrim, epigenetik, kuvantum tuhaflıkları gibi oluşumların alanıdır. Kaos eşiğinde simetri kırılması ve faz geçişleri ile kaos alanına geçilir. 

Differensiyal denklemlerin geçerli olmadığı bu alanda yani matematik olarak algoritmalar kullanılır. Genel olarak, karmaşık fiziksel sistemlerin incelenmesinde, dama tahtası benzeri yatay ve dikey çizgilerin oluşturduğu hücrelerin içindeki sabit elemanların (hücresel otomata) bitişik hücrelerle etkileşimi araştırılır. Yatay ve dikey çizgilerle oluşan alan sınırlı veya sınırsız olabilir. Bitişik (komşu) hücrelerin etkileşimini yasalar (basit kurallar) belirler. Yani, tüm karmaşık fiziksel sistemlerin modellemesinde evrensel yasa (kurallar) ve bir geometri (dama tahtası) vardır. 

Hücresel otomata. Hücresel otomata terimi ilk defa 1940 yılında John von Neumann ve Stanislaw Ulam tarafından önerildi ve bilgisayar mimarisinde çok hızlı ve devasa ölçülerde bilgi işlemleme (enformasyon processing) amacıyla kullanılıyordu. Sonrasında hücresel otomata bilgisayarlarda paralel hesaplama ve moleküler biyoloji hesaplarında ideal bir modelleme aracı olarak düşünüldü. John von Newmann programlanabilen bilgisayarlar üzerinde çalışırken o dönemde kimsenin hayal bile etmediği kendi kendini üreten biyolojik bilgisayar tasarlamaya odaklanmıştı. Stanislaw Ulam’ın hücresel otomata benzeri tavsiyesi ile çalışmalarını yoğunlaştırdı. “Theory of Self Production Automata” isimli kitabı oldukça teknik olmakla birlikte John von Neumann çalışmalarıyla, sadece biyolojik sistemlerin özelliği olarak bilinen kendiliğinden örgütlenme olgusunu makineler için de göstermiş oldu.

Hücresel otomata, karmaşık sistemlerde bilgi işlemleme ve genetik algoritmalarla evrimleşme konularını içeren mükemmel bir modelleme aracı olarak kullanılırlar. Nitekim kısa sürede fizik, jeoloji, kimya, biyoloji, ekonomi, sosyoloji gibi disiplinlerde modelleme aracı olarak yerini aldı ve hücresel otomata gibi basit bir eleman, basit kurallarla çok çeşitli sistemlere uygulanmaya başlandı. Ayrıca, bu basit elemanlar arasında etkileşim için çok basit kuralları olmasına rağmen belirim ve kendiliğinden örgütlenme gibi soyut yeni kavramların da modellenmesinde sıklıkla kullanılıyor. 

Kısaca, hücresel otomatanın ideal modelleme aracı olarak kullanılmasının nedeni; hücre elemanlarının merkezi bir kontrol sistemine bağlı olmayışı, bilgi işlemleme ve hesaplama imkânlarının mükemmel olması ve en önemlisi hücresel otomatanın evrimleşmesi ve çevresine uyum sağlama yetisidir. 

John von Neumann’ın biyolojiye uygulanan hücresel otomata çalışmalarından etkilenen İngiliz matematikçi John Conway 1970 yılında popüler yaşam oyununu (game of life) tasarladı. Aslında yaşam oyunu tabii ki bir oyun değil matematik hesapları yapabilen ve basit kurallarla son derece karmaşık davranışlara yol açan bir modelleme.

Yaşam oyununun tüm hücreler için basit kuralları; 

1. Canlı hücreler siyah, cansız hücreler beyaz renkle gösterilmiştir. Herhangi bir beyaz hücrenin 8 komşusundan 3’ü siyah ise bir sonraki evrede (time step) beyaz hücre siyah hücreye dönüşür, aksi hâlde beyaz kalır.
2. Herhangi bir siyah hücrenin 2 ya da 3 komşusu siyah ise hücre siyah olarak kalır, aksi hâlde beyaz hücreye dönüşür. Tüm hücreler eş zamanlı güncellenir.

                                                                         

Şekil 1.2.18. Yaşam Oyunu.

Şekil 1.2.18’de John Conway’ın siyah kutulardan oluşan şekli “glider” olarak bilinir (biz ona havacılık terimi ile planör diyelim). Yukarıdaki basit kurallara göre tek tek güncellemeler, sırasıyla Şekil 1.2.19’da 2, 3, 4 ve 5 ile gösterilen değişimler gösteriliyor. Dikkat edilirse, 1 numaralı şekil 5. güncellemede (time steps) kendisini tekrarladı. Yani, hücresel otomata iki basit kural çerçevesinde farklı bir yerde (sağda ve aşağıda) yeni bir planöre dönüştü. Sınırlı iletişimin olduğu bu dönüşümde herhangi bir merkezi kontrol yok (hiçbir hücre diğerinden sorumlu değil), hücresel otamata çevre hücrelere uyum sağlayarak kendiliğinden organize olma belirim ve özellikleri gösteriyor.  

Sekil 1.2.19. Tek boyutlu, tek durumlu hücresel otomata.

Yukarıdaki örnekte, başlangıç koşulları olarak bir planör seçildi ve 5 adımda (time step) kendisini yenilediğini gördük. Başlangıç koşulları entropisi yüksek rastgele seçilmiş siyah hücreler ile başlasaydı (hücresel otomata) sistem davranışı, önceden kestirilemeyen ama belirli düzenlilik gösteren çeşitli yapılara, bir çekici (attractor) etrafında dengeye veya tamamen kaotik bir yapıya dönüşebilirdi. Dinamik sistemlerin başlangıç koşullarına aşırı hassas olduklarını, ufak değişiklilerin beklenmedik davranışlara neden olacağını biliyoruz. Özet olarak, hücresel otomata karmaşık sistemlerin davranış kalıplarını (1) basit bir çeker (fixed point attractor) etrafında dengeli yapılara dönüştürebilir, (2) farklı periyotlarda salınım (oscillation) etrafında denge bulan yapılara dönüştürebilir ya da (3) kaotik yapıyla karmaşık davranış gösterebilir. Dolayısıyla, yaşam oyununa basit bir konfigürasyon ile seçilen hücresel otomata karmaşık sistemlerde çok farklı yapıların oluşmasına yol açıyor. Bu tür yapılar çok ayrıntılı, anlaşılması güç olan bilgi yönetim (information process) süreçlerinde, evrim çalışmalarında ise genetic algoritmalar (GAs) popüler modelleme aracı olarak kullanılıyor.

Ateşan Aybars (12 Nisan 2021)

¹ Complexity A Guided Tour, Kindle edition s.20. Melanie Mitchell.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway's_Game_of_Life

Karmaşıklık (Bölüm 7) (Ateşan Aybars, 4 Nisan 2021)

 

Karmaşık Sistemlerde Ölçekleme (Scaling)

Benzeşik ve fraktal yapılarla ilişkili olan ölçekleme kavramı karmaşık fiziksel ve karmaşık adaptif sistemlerin anlaşılmasında önemli rol oynar. Fraktallerin boyuta göre değişmezlik özelliği vardır. Boyut ne kadar küçülürse küçülsün bütünün tüm özelliklerini taşır. 

Zipf yasası, ölçekleme için iyi bir örnektir. Bu yasaya göre herhangi bir dilde en çok (sıklıkta) kullanılan kelime bir sonraki en çok kullanılan kelimeden iki kat, üçüncü en çok kullanılan kelimeden üç kat daha sık gözlenir ve böylece devam eder. Kelimelerin kullanım sıklığı (1., 2., 3., vs.) ve sıklığa göre sıralaması grafik olarak gösterilirse üstel bir ilişki olduğu ortaya çıkar. Bu ilişki üstellik yasası (power law) olarak bilinir.

Şekil 1.2.13.Yatay eksen kelimelerin sıralanmasını (derecesini), düşey eksen ise her bir kelimenin kullanım sıklığını gösterir.  

Son yıllarda gerek karmaşık sistemlerin analizinde gerek biyolojide çok ses getiren tartışmalı konu olarak metabolik oran tartışmasına kısaca bakalım. Canlı sistemlerde her bir hücre gıdayı enerjiye dönüştürmek üzere metabolik reaksiyondan geçer ve tanım olarak metabolik oran, organizmanın birim zamanda harcadığı enerjidir. İki farklı kütlesi ve yüzeyi olan örneğin, fare ve filin metabolik faaliyetlerini karşılaştırmak için kütlelerini kürenin hacmi, yüzeylerini kürenin yüzeyi gibi varsayalım ve hesaplamalar için basit Öklid geometrisini kullanalım. Kürenin hacmi, V = 4/3𝝅r³, yüzeyi ise, S = 4𝝅r² . Yarıçap (r) büyüdükçe kürenin hacmi yüzeyine kıyasla daha fazla artar. Açıklamak gerekirse, fareye kıyasla filin kütlesel hacmi büyük olduğundan metabolik faaliyetleri sonucu oluşan ısıyı fareye kıyasla daha düşük yüzey üzerinden atmak zorundadır. Bu durumda filin vücut ısısının çok fazla artması gerekir ki bunun böyle olmadığını biliyoruz. 19. yüzyıl biyologlarına göre metabolik faaliyetlerde, sınırlı yüzeyden ısının dağıtılması için metabolik oranın (ısı artış oranının) azalması gerektiği ve 2/3 üstellik yasasının (Kleiber yasası) makul olduğu kabul edilmiş ve 60 yıl boyunca bu konu sorgulanmamış. Herhâlde, kimse metabolik oranın kütle ile orantılı ölçeklemesini anlamamış olmalı. Ancak, 20. yüzyıl sonlarına doğru bazı araştırmacılar, karşıt görüşler olmasına rağmen, yasayı sorgulamaya başladılar, Kleiber yasasının kuşkulu olduğunu ve bunu düzeltmenin gerektiğini göstermeye çalıştılar. 

Şekil 1.2.14’de çeşitli canlılar için metabolik oranının kütle ile ölçeklendirilmesi gösterilmiştir. Elde edilen eğrinin eğimi 2/3  kuvveti (yüzey alanı/hacim) yerine 3/4 kuvvetine göre değişiyor ve her bir canlı için toplanan verilerin de bunu teyit ettiği iddia ediliyor. 

       

Şekil 1.2.14 Çeşitli canlılar için kütle ve metabolik oran ilişkisi. Aslında bu ilişki eğrisi 2/3 üstellik yasası olarak biliniyor ama pratik ölçümler ilişki eğrisinin eğiminin 3/4 yasasına göre olduğunu gösteriyor. Kaynak; Complexity, M.Mitchell

Diğer bir argüman Şekil 1.2.14’te sağdaki iki kuvvet eğrisinin (2/3 ve 3/4)  karşılaştırılmasından kaynaklanıyor. Canlıların metabolik oranlarının daha verimli olması evrim gereğidir. Bu anlamda daha yüksek metabolik oran, gerekli besinin hücrelere dağılıp enerjiye çevriminin daha verimli olması demektir. Metabolik oran açısından daha verimli olan 3/4 üstellik yasası kabul edilirse, kütle/yüzey alanı oranındaki sınır engelinin evrim sürecinde canlıların lehine değiştiğini düşünmek makul bir varsayım olmalıdır. 

1990’lı yıllarda matematikçi ve fizikçi Geoffrey West, ekolojist James Brown ve biyolojist Brian Enquist metabolik oran meselesine farklı bir açıdan yaklaştılar. Metabolik ölçeklendirme oranını (ve diğer biyolojik oranları) yüzey alanı ile sınırlamayıp enerji ve madde dağıtım sisteminin yapısallığına yöneldiler. 

West, Brown ve Enquist metabolik ölçekleme teorisini ortaya attıktan sonra açıklamak amacıyla üç varsayım önerdiler. 

1. Network dağılım varsayımı. Kılcal damarlara kadar daralan ağ çatallanmaları, hücreler arasında minumum boşluk bırakmak amacıyla, taşıdığı besini optimal ya da en verimli şekilde 3 boyutlu organın her bir hücresine ulaştırmaya çalışır. 
2. Network’un en küçük çatallanmaları (kılcal damarlar) canlıların kütlesine göre değişmez, fare veya fil olsun kılcal damarlar büyüklük olarak aynıdır, sadece filin daha fazla hücresi ve daha fazla kılcal damarı vardır.
3. Network tasarımı, besinin dağıtılması için gerekli toplam enerjinin en az seviyede olması üzerine evrimleşmiştir.

Network dağıtım sistemi ya da metabolik dolaşım fizyolojik olarak fraktal yapılardan oluşur. Öklid geometrisi (2/3 üstellik yasası) metabolik oran ölçeklenmesi için uygun değildir, yerine fraktal geometri kullanılmalıdır. West, Brown ve Enquist, neden metabolik oranın kütle ile 3/4 üstellik yasasına göre hesaplanması gerektiğini karmaşık fizik ve matematik modelleme ve denklemleriyle açıkladılar. Açıklamalarının özeti, metabolik oranın kütle (hacim) ile ölçeklendirilmesi aynı yüzey alanının hacim ile ölçeklendirilmesi gibidir, ancak geometrik ölçeklendirme üç boyutlu değil, dört boyutludur. Canlılar üç boyutlu bir evrende yaşamalarına rağmen mikro fizyolojik anatomik yapıları fraktal yapılarından dolayı adeta dört boyut içinde hareket eder. Sağduyumuza aykırı gelse de fraktal boyutluluk oldukça gizemli ve ölçümü nasıl yapıldığına bağlı olarak farklı sonuçlara götürür. Bir futbol topu yakından bakıldığında küre gibi görünür ama çok uzakta olduğunda daire olarak görünecektir. Kılcal damarların fraktal yapısı maksimum verimlilik için minumum alan kaplar ama minumum alan çabası zamanı da verimli kullanmayı içerir. Dolayısıyla, makro seviyede çevre ile ilişkilerimiz üç boyutlu algılanırken mikro seviyede iç yapımızın fonksiyonları adeta dört boyutlu işlev görür. 

Şimdilik 3/4 üstellik yasası başta biyolog topluluğu olmak üzere çeşitli disiplinler tarafından tartışılıyor. Modelin enteresan ve zarif olmasına karşı matematik olarak hatalı olduğu ve 3/4’ün doğru üstel olmadığı gibi birçok eleştiri devam ediyor. 

Ateşan Aybars (4 Nisan 2021)

¹ https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law 

Scale free, Long tail, Fat tail ya da Power law kavramlarının hepsi üstellik yasası olarak bilinir. Türkçede tam olarak üstelliği ifade etmese de kuvvet yasası olarak kullanılır.

² https://youtu.be/hCS9MU_RX1c.  Complexity Explorer, metabolic scaling.

³ Çok iddialı bir ifade olmasına rağmen üzerinde çeşitli tartışmalar yapılmaktadır. Ancak, kuvantum fiziğinin (kuvantum biyoloji gibi) çeşitli alanlarda yeni teorilerle ortaya çıkması yeni bilim anlayışının yaygınlaşması sevindiricidir. Zaten, birçok kuvantum kavramının açıklanmasından sonra günümüze kadar sayısız uygulaması gerçekleştirilmiştir ve bu sürecin devam etmesini beklemek son derece mantıklıdır.