Emin Çizmeci (29 Mart 2014)

Matematiği Yeniden Düşünmek (Mustafa Özcan, 17 Mart 2014)

Matematiği Yeniden Düşünmek

Bir önceki yazımda üzerinde durduğum “bir” olgusunun fiilen doğal gerçeklikte bulunmayışı hakkındaki düşüncemden hareket ile bunun matematiğe yansıyabilecek mütekabil durumuna geçiş yaparak konuyu bir de nicel soyutlama yönü ile matematiksel görüngeden irdelemek istiyorum.

Biraz daha açmak gerekirse, niyetim, yazıda örneğini verdiğim düşünce deneyinden “bir” diye adlandırdığımız sayısal nesnenin, sayısal kendiliğin sadece sanal (zahiren) olarak var olduğunu, oysa doğal gerçeklikte ‘bir’in var olmadığını etno-matematiksel bakıştan saptayarak doğrulamak istiyorum.

Nitekim böyle bir durumun ilkel toplumlarda var olduğunu teyit eden bazı antropolojik çalışmaların yapılmış olduğu ayrıca da bilinmektedir. Söz konusu ilkel toplumlarda, modern toplumlardan farklı olarak şeylerin topluca bulunması durumu olan somut (olgusal) varlık kümeleri için iki,  üç gibi adetsellik anlatan nicelik belirtmeleri yerine her bir durum için ayrı nitelik belirteçlerinin kullanıldığı görülmektedir.  Bu da, üçe kadar olan olgusal varlık kümelerinin sayılmasında “bir” sayısının sayma için katlanan soyut birim haline gelmediğini, yani çokluk halinin maddi içeriğinden soyutlanmadığını göstermektedir.

Diğer bir deyişle, saymayı Peano’nun sayı sistemi aksiyomundaki bir sayısının eklemeli ardıllaştırılması şeklindeki tekrarların toplamı olarak görürsek, bazı ilkel Afrika kabilelerinde keşfedildiği gibi, tekrar işlemi (rekürsiyonun) olgusunun  zihinde “bir” diye bilinen sayısal temsil edeni bulunmadığı anlamına gelmektedir. Etno-matematikçiler tarafından keşfedildiği gibi bu kabileler dört âdete kadar olan çokluk ile ilgili olguları nicel bir sayma işlemi ile değil de her bir durum için nitel bir belirteç kullanarak ifade etmektedir.

Özetle, her bir nesnel çokluğun her bir adetsel düzeyi için ayrı bir nitel betimleyici ifade bulunmakta ve eğer sayma işlemi kısıtlı da olsa yapılıyorsa bu sadece üç veya daha sonrasındaki çoklukların nicel belirlenmesi işinde kullanılmakta olduğu görülmektedir.

Öte yandan bu tespit bizi doğada tam olmayıp küsuratı sonsuza giden irrasyonel sayıların esas olarak derin doğal gerçeği temsil edenler olduğu sonucuna da götürür.

Bu durumu matematiksel dünyada anlamak içinse matematiğin temellendirilmesine biçimsel sayma sırasındaki sayıların ilki olanı “bir” yerine çokluk hallerine sezgisel yoldan yaklaşan bir sayısal konstrüktivizmi nicelliği belirtmedeki dizge olarak kullanabiliriz. Bu durumda temel sayma birimi olarak “bir” yerine hiçbir zaman birbirine bölünmeyen asal sayıları ardışık öğeler, yani birim olarak kullanmak mümkündür.

Böylece kesin olan “bir” yerine kesin olmayan, sezgisel olarak elde edilen “bir”den çok az farklı sayıları onun yerine koyarak fraktal yapılara, çözülemeyen olarak kalan asal sayılar dağılımı örüntülerine varabiliriz. Nasıl ki karmaşık sayılarla, bulanık mantıkla işlem yapılabiliyorsa sezgisel kavrayışa dayanan “bir”den çok az farklı öğelerle de hesap yapmak, işlemlerde bulunmak, algoritmalar geliştirmek mümkün olabilir diye düşünüyorum.

Yeni bir matematik arayışı olarak adlandırabilecek bu tür çalışmaların ne kadar elverişli sonuçlar ortaya çıkaracağını kestirmek güç olmakla birlikte matematikte bu yöndeki taleplerin geçen yüzyıldan beri var olduğunu, ancak tatminkâr sonuç alıcı girişimlerin bulunmadığını belirtmek gerekir.

Gene de bu alanda nadiren de olsa ortaya çıkmış bazı girişimleri sadece isimlendirerek anımsamakta yarar olduğu kanısındayım: Standard dışı analiz ile “üçüncü halin olabildiği”, “dördüncü boyutun var olduğu” yeni yaklaşımlar, sezgiselliğin ve diyalektiğin geçerli olduğu yeni matematikler.

Ayrıca, bu doğrultudaki arayışların önünü açmak gayretinde olan Henri Poincare, İmre Lakatos ve Karl Popper gibi tanınmış düşünürlerin yanı sıra yeni matematik yönünde az da olsa kafa yormuş pek çok matematikçiyi anımsamadan geçmemek gerekir.

Bu matematikçilerin bazılarından sonraki yazılarımda söz etmek elbette onlar tarafından çoktan hak edilmiş tanınma için mütevazı bir fiil olacaktır.

Mustafa Özcan (17 Mart 2014)

Twitter hesabımız

Kadıköy Düşünce Platformu olarak Twitter hesabımızı açmış bulunuyoruz; @KadikoyDusunce

Milenyum Problemleri ve Yeni Bir Matematiğin Gerekliliği (Mustafa Özcan, 7 Mart 2014)

Milenyum Problemleri ve Yeni Bir Matematiğin Gerekliliği

Clay Matematik Enstitüsü (*), 2000’nin başında Milenyum (Binyıl) Problemleri diye adlandırdığı matematiğin farklı dallarında hala çözülmemiş, zor yedi sorunu belirleyerek her birini çözene birer milyon dolar ödül vereceğini ilan etti. Böylece, bir bakıma, 21. Yüzyılda yapılacak çözülememiş problemler konusundaki matematiksel çalışmalar için bir asır boyunca sürecek olan yedi doruk hedefin ne olduğunu belirlemiş oldu.

Clay Enstitüsü'nün tespit ettiği problemler listesinin içeriği şöyledir:

1.    Birch-Swinnerton-Dyer Konjektürü

2.    Hodge Konjektürü

3.    Navier-Stokes Denklemi Problemi

4.    P=NP Denklemi Problemi

5.    Riemann Hipotezi

6.    Yang-Mills Kuramı Denklemi Problemi

7.    Poincaré Konjektürü

Ayrıca eğer Riemann Hipotezi, P=NP Denklemi, Hodge Konjektürü (kestirimi, tahmini varsayımı), Yang-Mills Kuramı, Poincare Konjektürü, Navier Stokes Denklemi, Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü problemlerden birinin çözümü bulunduğunda Clay Matematik Enstitüsü'ne göndermeden önce ilkin muhakkak uluslar arası kabul gören hakemli bir dergide yayımlatılması gerekmektedir (**).

Buna benzer bir girişim bir asır önce de 1900 yılında ünlü matematikçi David Hilbert tarafından 20. Yüzyıl için de yapılmıştı. Albert Einstein’in de hocası olan Hilbert 23 adet (***) çözülememiş problemi listeleyerek ilk defa böyle bir girişimi başlatan kişi olmuştu. Hem o günkü hem de bugünkü listede yer alan tek çözülmemiş problemse listede beşinci sıradaki G.F.B. Riemann tarafından 1859 yılında formüle edilmiş olan asal sayıların dağılım ile ilgili hipotez (varsayım) dir.

Ödüllü Yedi Milenyum Problemi listesinde yüzyıl sonra dahi yer işgal ediyor olması bu sorunun ne denli çetrefil olduğu ve çözüm için derinlikli ve farklı bir algoritma gerektirdiğini göstermesi bakımından çok önemlidir diye düşünüyorum.  

Bu matematiksel sorunun diğerleri gibi binyılı başlatan bu yüzyıl içinde çözümü bulunacak bir sorun değil de çözümü belki de tam binyıl tutacak bir sorun olarak kayda geçmesi gerektiği yönünde tarihe not düşülmesinin yerinde olacağına inanıyorum.

Çünkü yedi problemden biri olan Henri Pointcaré Konjektürü daha 2006 yılında resmi olarak teorem statüsüne yükseldi. Yani problem çözüldü. Çözüme ulaşan kişi ise Rusya’daki Sen Petersburg Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grigori Perelman oldu. 2002 yılında yayımladığı kanıtın doğruluğu Dünya Matematikçiler Birliği'nce 2006 yılında yapılan kongrede resmen kabul edildi.

Diğer bir problem olan Navier-Stokes Denklemleri'nin de çözüldüğü gene 2006 yılında duyurulsa da çözüm yeterince tatminkar görülmüş olmasa gerekir ki konu ile ilgili değerlendirmelerin tamamlandığına dair henüz bir bilgiye ben şahsen ulaşmış değilim.

Öte yandan deneyler ve bilgisayar destekli simülasyonları Yang-Mills Denklemleri’nin kuantum sürümlerinin çözümleri "kütlesel bir boşluk"un var olduğunu düşündürmektedir. Ama bu özelliğin hiçbir kanıtı bilinmektedir.

Doğaldır ki gerçek matematik sevdalıları parasal ödül için değil matematik yapmayı sevdikleri için bu tür uğraşlara girmekten kaçınmamaktadır. Bu da matematik sevdalıları sırf başarılı olmak için zor ve karmaşık bu sorunları çözmeye yönelik böyle olağan üstü çabalar göstermesi gerçekten de takdire şayan bir husustur.

Bu sorunların, uzun yıllar boyu çözülmeye ısrarla direnen cinsten olmaları bunların aynı zamanda matematiğin standartlarını değiştirecek nitelikte çözüm gerektirir olmalarından ileri gelmektedir. Diğer bir deyişle de burada şimdikinden ayrı bir mantıksallığa oturtulmuş algoritmalar, yani yeni bir tür mantıksallığı ortaya koyacak yeni kavrayış biçimlerinin benimsenmesi gerektiği sonucu dahi çıkarılabilir.

Nitekim iteratif çözümlerde ve benzetimlerde kullanılan bilgisayarlı tekniklerin olağan üstü gücünün desteğinde dahi tatmin edici sonuçlara ulaşılamaması burada matematiğin standart yapısı dışında bir yaklaşım gerektirdiği anlamına gelmektedir. Başka bir deyişle, mevcut matematik kavrayışı, anlayışı ve yaklaşımı bu sorunların çözümü için yeterli kapasite ve olanak sunamamaktadır.

Bu görüngeden bakıldığında Binyıl Problemleri’ni anlamak için muhakkak üniversite matematiği tahsiline dayalı matematik sahibi olmanın gerekli olmadığı da anlaşılmaktadır.  Başka bir deyişle, burada ‘doğal mantıksallık’ yolu ile çözüme elveren yeni bir matematiksel düşünüş, kavrayış biçimi oluşturulduğunda sonuca ulaşma koşullarının yaratılabileceği anlamına çıkmaktadır.

Örneğin Riemann Hipotezi sorununu çözemeye çalışanın çoğunlukla şimdiye dek alışıla geldiği gibi sadece Fermat'ın son teoremini, Goldbach ya da İkiz Asallar Kestirimi’ni mevcut matematik standartları çerçevesinde anlamaktan daha fazlasını ortaya koymanın  gerekli olduğunu düşünüyorum.

Belki de bu konuda ABD’li matematikçi Hugh Montgomery (****) ‘nin yaptığı gibi asal sayı dağılımındaki aralıkların örüntüsü ile atom çekirdeği enerji düzeylerinin örüntüsü arasında benzeşim (analoji) kurmak gerekmektedir.  

Mustafa Özcan (7 Mart 2014)

________________

(*) ABD’nde Cambridge Massachusetts'de bulunmaktadır.

(**) Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org
(***) Hilbert’in bir asal sayı olan 23’ü seçmiş olması oldukça manidardır. Bu daha pek çok önemli olguda olduğu gibi insandaki kromozon çiftinin de sayısıdır.
(****) http://en.wikipedia.org/wiki/Hugh_Montgomery_(mathematician)

Emin Çizmeci (7 Mart 2014)