Doğrusalsız sistemler ve kaos
Geçici (transient) ve periyodik hareketler doğrusal dinamik sistemlerin, basit ve tek bir denge konumu olan karakteristik özelliğidir. Ancak, geri bildirimler sistemin karakterini değiştirir. Doğrusalsız dinamik sistemler, başlangıç koşullarına duyarlılıkları nedeniyle birden fazla çekerli, birden fazla denge konumu olan ve bu nedenle uzun süreçli davranışlarının net olarak öngörülemediği kaotik sistemlere dönüşür. Çevremizde çoğu fenomen doğrusalsız özellikler göstermesine rağmen konu çeşitli yaklaşımlarla geçiştirilmiş ve ihmal edilmiştir. İçinde yaşadığımız dünyanın doğal olarak karmaşık ve doğrusalsız olmasına karşın bilimsel perspektiften bakıldığında, anlama çabamız sadece modellemeler aracılığıyla yapılabiliyor. Modellemeler, önce sebep-sonuç ilişkisini gösteren basit sistemler için tasarlanmıştı ama artık güçlü hesaplama imkânlarıyla birlikte karmaşık sistemler için de tasarlanabiliyor.
Bilim ve matematik, yüz yıllarca düzenli geometrik şekilleri tanımlayan doğrusal sistemlere odaklandılar. Ancak, son birkaç on yılda bilim insanları doğrusalsız sistemlere yönelmeye başladılar. Doğrusalsız sistemler, doğrusal sistemlerden farklı olarak, toplama ve homojenlik özelliklerini dışlarlar. Doğrusalsız sistemlerde toplama (süperpozisyon) özelliği yoktur. Bu tür sistemlerin geri bildirim sonrasında giriş ve çıkış değerleri arasında doğrusal ilişki yoktur, çok defa sistemin çıktısı sinerjik fazla ya da çevre etkileri nedeniyle daha az olabildiğinden toplama prensibi geçerli değildir.
Daha önce örnek olarak gösterdiğim hidrojen ve oksijen atomları birleştiğinde etkileşimin toplama özelliği olmadığından doğrusal olmayan sonuç çıkar. Su molekülü (H2O) sadece hidrojen ve oksijenden ibaret değildir, sinerjik olarak suyun ıslaklık özelliği de belirmiştir. Burada, bütün parçalarından fazla olduğundan toplama prensibi geçerli değildir. Homojenlik özelliği ile anlatılmak istenen ise orandır, sistem çıktısının her zaman sistemin girdisi ile orantılı olmasıdır. Sistemin girdisi ikiye ya da üçe katlanırsa çıktısı da iki ya da üç misli olur; ölçek doğrusaldır ama gerçek dünya da sistem çeşitli etkileşimler nedeniyle kaçınılmaz olarak doğrusal olmayan davranış göstereceğinden, homojenlik ilkesine uymaz. Sonuç olarak, herhangi bir sistem geri bildirim ile etkileşime girdiğinde doğrusal olmayan davranış ortaya çıkacağından toplama ve homojenlik ilkesi geçerliliğini yitirir.
Çevre etkilerinden arındırılmış izole bir sistemin her zaman basit bir çeker etrafında dengeye varacağı yüz yıllar boyu araştırma konusu olmuştur ama çevremize bakarsak basit periyodik dengeleri pek göremeyiz. Dünya, daha karmaşık yapılardan oluşur ve bu karmaşık yapıların ardında birçok etkileşimin neden olduğu, çok çekerli (attractor) ve zaman içinde farklı çekerlere yönelen dinamik sistemleri görürüz.
Klasik örnek olarak sarkaç gösterilebilir. Basit tek parçalı sarkaç, periyodik ve deterministik doğrusal salınımları sonrasında tek çeker etrafında dengeye gelir. İki parçalı sarkaç ele alındığında ise hâla çok basit bir sistem olmasına rağmen, parçaların etkileşimi ile doğrusalsız ve kaotik davranışa sürüklendiği gözlenir ve sistemin davranışı öngörülemez. Diğer bir örnek olarak daha önce bahsettiğim H. Poincare’nin kâbusu olan üç cisim problemi gösterilebilir. Dünya’nın Güneş etrafında dönmesi tek çeker etrafında denge arayan doğrusal bir sistemdir ama üçüncü cisim olarak Ay sisteme dâhil edilirse, iki çeker etrafında iki denge noktası arayan Dünya, yörüngesindeki iki ayrı kütle çekim etkisinden dolayı doğrusalsız dinamik sistem olarak davranmaya başlayacaktır.
Kaos teorisi: Doğrusalsız basit sistemlerle ilgili olmasına rağmen, başlangıç koşullarına duyarlılık kavramı karmaşık sistemlerde de karşımıza çıkar. Karmaşık sistemlerde bu duyarlılık sistem davranışını aşırı ölçüde etkileyerek faz geçişlerine neden olur. Sistem dengeden çok uzaklaşırsa kolayca yeni çekerlere yönelir. Popüler kelebek etkisi, doğrusalsız sistemlerin başlangıç koşularında çok küçük bir farkın sistem davranışını üstel olarak çok farklı davranışlara yöneltmesidir. 1972 yılında Edward Lorentz bilgisayarına doğru veriler girdiğini düşünüyordu ama kahve molasından döndüğünde bilgisayar çıktısı şaşırtıcı ölçüde farklıydı. Yaptığı detaylı irdelemenin ardından bilgisayara girdiği verinin küsuratını yuvarladığını anladı. Böylece, birçok iterasyon sonrasında çok küçük yuvarlama hatasının bile üstel şekilde büyümesi sistemin başlangıç koşullarına ne kadar duyarlı olduğunu göstermiş oldu. Kelebek etkisi olarak da bilinen bu fenomen, 1970 ve 80’li yıllarda bilim ve matematikçiler arasında kabul görmesiyle birlikte farklı alanlara taşındı ve meteoroloji, tedarik zirciri, elektrik şebekeleri ve uluslararası politika ve diğer birçok alanda gözlendi.
Çatallanma ve faz geçişleri: Çatallanma ve faz geçişleri doğrusalsız sistemlerin çabukça nitel değişime sürüklenme özelliğidir. Negatif geri bildirim sistemi dengeye getirmek üzere çalışırken pozitif geri bildirim sistemi dengeden uzaklaştırmaya çalışır. Etrafımıza baktığımızda kütle çekim yasasından av-avcı dinamiklerine ya da istikrarlı şekilde uyguladığımız günlük hayatın iniş çıkışlarına kadar her yerde negatif geri bildirim izleri vardır. Pozitif geri bildirim ise sistemi (çevre sınırları dâhilinde) dengeden uzağa taşır. Öyleyse, doğrusalsız sistemlerin başlangıç koşullarında en küçük nicel değişikliklerin sistemin bütününde nitel değişikliğe yol açması faz geçişi olarak bilinir. Bu süreç; önce sistemin yerel elemanlarının değişen çevre koşullarına uyumu ile nitel değişime uğraması, simetri kırılması ve bu değişimin sistemin üst hiyerarşisinde yeni bir belirim olarak tezahür etmesi şeklindedir. Örneğin, buzun suya dönüşmesi termodinamik faz geçişidir. Kritik bir sıcaklıkta ufak bir değişim buzu suya çevirir ve artık su farklı fizik yasalarına bağlı olarak davranır. Nitekim buzun kırılmasından bahsedebiliriz ama su için aynısı söylenemez ya da su için viskoziteden bahsedebiliriz ama gaz için bahsedemeyiz. Buz, su veya buhar hâlleri farklı parametrelere göre tanımlanır, farklı yasalara göre yönetilirler. Faz geçişleri, sosyal, ekonomik, biyoloji, politika, kültür vs. gibi birçok alanda karmaşık adaptif sistemlerin anlaşılmasında önde gelen kavramdır.
Çatallanma teorisi: Faz geçişinde sınır koşullarının değişmesi, uyum ve simetri kırılmasının sonucu olarak doğrusalsız sistem özelliklerinin değiştiğini anlattıktan sonra şimdi çatallanma açısından bu özelliklerin nasıl yönlendiğine bakalım. Faz geçişleri sistem özelliklerinde nitel bir değişime neden olurken çatallanma sistemin kaderini tayin eder. Başlangıç koşullarındaki çok küçük nicel değişiklikler sistemin topolojisini değiştirdiği ve yeni çekerler oluştuğu için artık sistemin davranışı çatallanmanın yeni çekerlerine doğru iki yönde gelişecektir.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder