Karmaşıklık (Bölüm 6) (Ateşan Aybars, 27 Mart 2021)

 

Doğrusalsız sistemler ve kaos

Geçici (transient) ve periyodik hareketler doğrusal dinamik sistemlerin, basit ve tek bir denge konumu olan karakteristik özelliğidir. Ancak, geri bildirimler sistemin karakterini değiştirir. Doğrusalsız dinamik sistemler, başlangıç koşullarına duyarlılıkları nedeniyle birden fazla çekerli, birden fazla denge konumu olan ve bu nedenle uzun süreçli davranışlarının net olarak öngörülemediği kaotik sistemlere dönüşür. Çevremizde çoğu fenomen doğrusalsız özellikler göstermesine rağmen konu çeşitli yaklaşımlarla geçiştirilmiş ve ihmal edilmiştir. İçinde yaşadığımız dünyanın doğal olarak karmaşık ve doğrusalsız olmasına karşın bilimsel perspektiften bakıldığında, anlama çabamız sadece modellemeler aracılığıyla yapılabiliyor. Modellemeler, önce sebep-sonuç ilişkisini gösteren basit sistemler için tasarlanmıştı ama artık güçlü hesaplama imkânlarıyla birlikte karmaşık sistemler için de tasarlanabiliyor. 

Bilim ve matematik, yüz yıllarca düzenli geometrik şekilleri tanımlayan doğrusal sistemlere odaklandılar. Ancak, son birkaç on yılda bilim insanları doğrusalsız sistemlere yönelmeye başladılar. Doğrusalsız sistemler, doğrusal sistemlerden farklı olarak, toplama ve homojenlik özelliklerini dışlarlar. Doğrusalsız sistemlerde toplama (süperpozisyon) özelliği yoktur. Bu tür sistemlerin geri bildirim sonrasında giriş ve çıkış değerleri arasında doğrusal ilişki yoktur, çok defa sistemin çıktısı sinerjik fazla ya da çevre etkileri nedeniyle daha az olabildiğinden toplama prensibi geçerli değildir. 

Daha önce örnek olarak gösterdiğim hidrojen ve oksijen atomları birleştiğinde etkileşimin toplama özelliği olmadığından doğrusal olmayan sonuç çıkar. Su molekülü (H₂O) sadece hidrojen ve oksijenden ibaret değildir, sinerjik olarak suyun ıslaklık özelliği de belirmiştir. Burada, bütün parçalarından fazla olduğundan toplama prensibi geçerli değildir. Homojenlik özelliği ile anlatılmak istenen ise orandır, sistem çıktısının her zaman sistemin girdisi ile orantılı olmasıdır. Sistemin girdisi ikiye ya da üçe katlanırsa çıktısı da iki ya da üç misli olur; ölçek doğrusaldır ama gerçek dünya da sistem çeşitli etkileşimler nedeniyle kaçınılmaz olarak doğrusal olmayan davranış göstereceğinden, homojenlik ilkesine uymaz. Sonuç olarak, herhangi bir sistem geri bildirim ile etkileşime girdiğinde doğrusal olmayan davranış ortaya çıkacağından toplama ve homojenlik ilkesi geçerliliğini yitirir.

Çevre etkilerinden arındırılmış izole bir sistemin her zaman basit bir çeker etrafında dengeye varacağı yüz yıllar boyu araştırma konusu olmuştur ama çevremize bakarsak basit periyodik dengeleri pek göremeyiz. Dünya, daha karmaşık yapılardan oluşur ve bu karmaşık yapıların ardında birçok etkileşimin neden olduğu, çok çekerli (attractor) ve zaman içinde farklı çekerlere yönelen dinamik sistemleri görürüz.

Klasik örnek olarak sarkaç gösterilebilir. Basit tek parçalı sarkaç, periyodik ve deterministik doğrusal salınımları sonrasında tek çeker etrafında dengeye gelir. İki parçalı sarkaç ele alındığında ise hâla çok basit bir sistem olmasına rağmen, parçaların etkileşimi ile doğrusalsız ve kaotik davranışa sürüklendiği gözlenir ve sistemin davranışı öngörülemez. Diğer bir örnek olarak daha önce bahsettiğim H. Poincare’nin kâbusu olan üç cisim problemi gösterilebilir. Dünya’nın Güneş etrafında dönmesi tek çeker etrafında denge arayan doğrusal bir sistemdir ama üçüncü cisim olarak Ay sisteme dâhil edilirse, iki çeker etrafında iki denge noktası arayan Dünya, yörüngesindeki iki ayrı kütle çekim etkisinden dolayı doğrusalsız dinamik sistem olarak davranmaya başlayacaktır. 

Kaos teorisi: Doğrusalsız basit sistemlerle ilgili olmasına rağmen, başlangıç koşullarına duyarlılık kavramı karmaşık sistemlerde de karşımıza çıkar. Karmaşık sistemlerde bu duyarlılık sistem davranışını aşırı ölçüde etkileyerek faz geçişlerine neden olur. Sistem dengeden çok uzaklaşırsa kolayca yeni çekerlere yönelir. Popüler kelebek etkisi, doğrusalsız sistemlerin başlangıç koşularında çok küçük bir farkın sistem davranışını üstel olarak çok farklı davranışlara yöneltmesidir. 1972 yılında Edward Lorentz bilgisayarına doğru veriler girdiğini düşünüyordu ama kahve molasından döndüğünde bilgisayar çıktısı şaşırtıcı ölçüde farklıydı. Yaptığı detaylı irdelemenin ardından bilgisayara girdiği verinin küsuratını yuvarladığını anladı. Böylece, birçok iterasyon sonrasında çok küçük yuvarlama hatasının bile üstel şekilde büyümesi sistemin başlangıç koşullarına ne kadar duyarlı olduğunu göstermiş oldu. Kelebek etkisi olarak da bilinen bu fenomen, 1970 ve 80’li yıllarda bilim ve matematikçiler arasında kabul görmesiyle birlikte farklı alanlara taşındı ve meteoroloji, tedarik zirciri, elektrik şebekeleri ve uluslararası politika ve diğer birçok alanda gözlendi. 

Çatallanma ve faz geçişleri: Çatallanma ve faz geçişleri doğrusalsız sistemlerin çabukça nitel değişime sürüklenme özelliğidir. Negatif geri bildirim sistemi dengeye getirmek üzere çalışırken pozitif geri bildirim sistemi dengeden uzaklaştırmaya çalışır. Etrafımıza baktığımızda kütle çekim yasasından av-avcı dinamiklerine ya da istikrarlı şekilde uyguladığımız günlük hayatın iniş çıkışlarına kadar her yerde negatif geri bildirim izleri vardır. Pozitif geri bildirim ise sistemi (çevre sınırları dâhilinde) dengeden uzağa taşır. Öyleyse, doğrusalsız sistemlerin başlangıç koşullarında en küçük nicel değişikliklerin sistemin bütününde nitel değişikliğe yol açması faz geçişi olarak bilinir. Bu süreç; önce sistemin yerel elemanlarının değişen çevre koşullarına uyumu ile nitel değişime uğraması, simetri kırılması ve bu değişimin sistemin üst hiyerarşisinde yeni bir belirim olarak tezahür etmesi şeklindedir. Örneğin, buzun suya dönüşmesi termodinamik faz geçişidir. Kritik bir sıcaklıkta ufak bir değişim buzu suya çevirir ve artık su farklı fizik yasalarına bağlı olarak davranır. Nitekim buzun kırılmasından bahsedebiliriz ama su için aynısı söylenemez ya da su için viskoziteden bahsedebiliriz ama gaz için bahsedemeyiz. Buz, su veya buhar hâlleri farklı parametrelere göre tanımlanır, farklı yasalara göre yönetilirler. Faz geçişleri, sosyal, ekonomik, biyoloji, politika, kültür vs. gibi birçok alanda karmaşık adaptif sistemlerin anlaşılmasında önde gelen kavramdır.

Çatallanma teorisi: Faz geçişinde sınır koşullarının değişmesi, uyum ve simetri kırılmasının sonucu olarak doğrusalsız sistem özelliklerinin değiştiğini anlattıktan sonra şimdi çatallanma açısından bu özelliklerin nasıl yönlendiğine bakalım. Faz geçişleri sistem özelliklerinde nitel bir değişime neden olurken çatallanma sistemin kaderini tayin eder. Başlangıç koşullarındaki çok küçük nicel değişiklikler sistemin topolojisini değiştirdiği ve yeni çekerler oluştuğu için artık sistemin davranışı çatallanmanın yeni çekerlerine doğru iki yönde gelişecektir. 

Ateşan Aybars (27 Mart 2021)

Karmaşıklık (Bölüm 5) (Ateşan Aybars, 21 Mart 2021)

 

Karmaşık sistemler ve enformasyon 

Enformasyon. Karmaşık sistemler kendiliğinden örgütlenen yapılardır. karıncaların örgütlenerek önlerine çıkan engelleri aşması, beyinde tek tek nöronların elektro-kimyasal etkileşimi ile ortaya çıkan beyin mucizesi, bağışıklık sisteminin düşman hücrelere karşı askeri ordudan daha etkili, amansız savaşı, düzensizlikten düzene geçiştir. Düzen sağlandığında sistemin entropisi azalır. Oysaki açık sistem olarak evrende kozmik kumarhane gibi entropi her zaman kazanır. Karmaşık sistemler üzerine kafa yoran bilim insanları düzen ve düzensizliği ifade etmek için entropinin dikotomik karşıtı olan enformasyon deyimini kullanırlar. Enformasyon ne demektir? Günümüzde enformasyon sözcüğü ile sık sık karşılaşıyoruz. Enformasyon çağı, enformasyon teknolojisi (IT), enformasyon otoyolu vs. Halk arasında televizyon, gazete, internet ya da karşılıklı konuşmaları bilgi (enformasyon) olarak adlandırır ve anlamlandırırız. Teknik olarak enformasyon kablolu yayın, fiber optik, bilgisayardan diğer bilgisayara sinyal iletişimi ile çeşitli konuların ifade edilmesidir. Bilgisayarların hayatımıza girdiği günden bu yana bilgisayar mühendisleri, enformasyon ve veri işlemenin (data processing) sadece elektronik devrelerde yapılmadığını ama canlı sistemlerde de gerçekleştiğini düşünüyorlardı. Bu sistemlerde bilgi işlem ve data processing konularının anlaşılması için önce bir kaç ilgili tanım anlaşılmalı

Enerji, İş ve Entropi. Enformasyon üzerine çalışmalar termodinamik kavramı ile başladı. 19. yüzyıl fizikçileri tüm evrenin enerji ve maddeden oluştuğunu düşünüyorlardı. Enerji tanım olarak bir sistemin iş yapabilme yetisini gösterir. Zemine paralel bir F kuvveti cisme yol aldırabiliyorsa iş yapıyor demektir. Yapılan iş, kuvvet ile yolun çarpımına eşittir. İş W sembolü ile gösterilirse, W = F. x (Newton metre = joule) olur. Örnek olarak, düz bir yolda bozulan otomobilin itilmesine bakalım. Vücudun potansiyel enerjisi otomobilin kinetik enerjisine (hareket) dönüşür ve enerjinin sakınımı yasasına göre dönüşen enerji yapılan iş ve ısı kaybının toplamına eşit olmalıdır. Burada ısı kaybı tekerleklerin sürtünmesi, vücut terlemesi gibi kayıpların toplamıdır. Tekrar işe dönüştürülemeyen ısı kaybının ölçüsü termodinamiğin ikinci yasası olarak bilinen entropidir. Zaman oku olarak da bilinen entropi yasası tüm fizik yasaları arasında tek yönlüdür, tersinir değildir. Dışarıdan enerji alamayan kapalı sistemlerde her zaman düzensizlik artar, entropi kazanır. Enerji yitirgen (dissipative) açık sistemlerin, düzensizliğe karşı dışarıdan enerji alarak denge sağlamaya çalışması entropiye karşı sadece direniştir. 

Maxwell’in şeytan paradoksu. Elektrik ve manyetizmayı mükemmel denklemler ile birleştiren teorisi ile bilinen James Clerk Maxwell, 1871 yılında yayınlanan “Theory of Heat” isimli kitabının “Limitation of the Second Law of Thermodynamics” kısmında bir paradokstan bahseder ve bu paradoksu düşünce deneyi ile açıklar. Şekil 1.1.1. 

Deneye göre, çevresi ile enerji alış verişi olmayan ve eşit sıcaklıkta iki bölümü olan bir kutu ele alınır. Kutunun hayali bir şeytan tarafından kontrol edilen menteşeli (sürtünmesiz açılıp kapanabilen) bir kapağı vardır ve şeytan bu kapağı açıp kapayarak enerjisi yüksek, hızlı hareket eden molekülleri sol bölümde yavaş hareket eden molekülleri sağ bölümde toplayacak şekilde kapıyı gerektiği gibi açıp kapatarak tüm hızlı moleküller sol bölümde tüm yavaş olanlar ise sağ bölümde toplanırlar. Başlangıçta entropisi yüksek olan dağınık durum, şeytanın düzenleyici çabasıyla değişmiş ve sistemin entropisi azalmıştır.

 

Şekil 1.1.1 Maxwell’in şeytan paradoksu düşünsel deney kutusu.

Termodinamiğin ikinci yasasına göre bir sistemin entropisinin azalması için sisteme enerji vermek, iş yapmak gerekir. Şeytan tarafından nasıl bir iş yapıldı? Maxwell şeytanın kontrol ettiği kapağın kütlesiz ve sürtünmesiz olduğunu, şeytanın başka bir iş yapmadığını varsaydığına göre entropi nasıl azaldı? Termodinamiğin ikinci yasası ihlal edilmiş olmuyor mu? Maxwell’in şeytanı 19. yüzyıl hatta 20. yüzyılda önde gelen bilim adamlarının kafasını karıştırmıştı. Maxwell’in bu paradoksa kendi cevabı ise entropi yasasının yasa olmaktan çok istatistiksel bir olgu olduğu şeklindeydi. Ancak, fizikçilerden öfkeli tepkiler geldi. Termodinamiğin ikinci yasasının ihlal edilemeyeceği, sorunun şeytan ile ilgili olduğu düşünülüyordu. 

Birçokları bu paradoksu çözmek için 60 yıl boyunca uğraştılar ama 1929 yılına kadar çözüm öneremediler. Hamle, 1929 yılında Macar asıllı fizikçi Leo Szilard’dan geldi. Çözüm, şeytanın zekâsı. Şeytan kapağı rastgele açıp kapayamaz, her bir molekülü doğru yönlendirmek için tek tek hız ve pozisyonlarını bilmek zorundadır ve bunun için hafızasında enformasyonu (bilgi) artırmak durumundadır, yani şeytanın hafızasındaki enformasyonun artan entropisi, moleküllerin tasnif edilmesi nedeniyle kutunun azalan entropisini karşılamaktadır. Ancak, şeytanın hafızası (kapasitesi) sınırlıdır, tamamen dolduğunda bilginin bir kısmını silmek zorundadır (Rolf Randauer’in önermesi) ve bunu yaparken harcadığı enerji çevrenin (evrenin) entropisini azaltır. 

Enformasyonun silinmesi canlı cansız (nöron, yarı iletken lojik devreler, elektron kuvantum durumları vs.) her şey için geçerlidir. Böylece tüm sistem (kutu, moleküller ve şeytan) ikinci termodinamik yasaya göre uygun davranmış olacaktır. Termodinamiğin ikinci yasasının geçerliliğini korumaya devam etmesi tüm bilim insanlarının rahat bir nefes almasını sağlamıştır. Maxwell’in şeytanı ve moleküller ile ilişkisi 20. yüzyıl başında kuvantum fiziğinin gelişmesine (gözlemcinin deneyin parçası olması) yol açmıştır.

Şeytan paradoksu zaman içinde çeşitli yorumlardan sonra geçerliliğini korudu ama Szilard, ilk defa entropi ile enformasyon arasında bağlantıyı kurarak enformasyon teorisinin temelini atan ilk bilim insanı oldu. 

İstatistiksel Mekanik. Ludwig Boltzman, bu konuda çalışmaları ile istatistiksel mekaniğin kurucusu olarak bilinir. Klasik mekanik disiplinine göre bütün sistemlerin hareketi (molekül, ısı vs.) Newton yasalarına göre teorik olarak hesaplanabilir ama trilyonlarca molekülün tek tek davranışlarını hesaplamak çok zordur ya da mümkün değildir. İstatistiksel termodinamik ve mekanik tek tek moleküllerin davranışını hesaplamak yerine “mikro durum” denilen molekül kümelerinin ortalama davranışlarını hesaplamaya çalışır. Ancak, istatistik yaklaşımın bir problemi var. Nitekim dönemin önde gelen bilim insanları tarafından S. Boltzman’ın çalışmalarının kabul görmemesi 1906 yılında Boltzman’ı intihara kadar sürüklemişti. 

İstatistiksel yaklaşım makro sistemin olası davranışlarını açıklar ama mikro sistemlerin olasılık olarak sağduyuya karşı gelen konfigürasyonları olabilir. Örneğin, bir oda içinde hava molekülleri rastgele hareket ederler (maksimum entropi) ve oda içinde herkes rahatlıkla nefes alabilir. Ancak, istatistiksel mekaniğe göre hava moleküllerinin tümü çok ama çok düşük bir olasılıkla da olsa odanın bir köşesinde toplanabilirler. Böyle bir köşede bulunan bir insan hava basıncından ölebilir, odanın diğer bölgesinde olan bir insan ise havasızlıktan ölür. Gerçekte böyle bir olasılık hiç yaşanmadı ama Newton yasasına göre böyle bir olasılığın olamayacağından söz edilemez. L. Boltzman, yeterli ölçüde mikro sistemlerin (molekül kümeleri) ortalamasının her zaman doğru sonuç vereceğini iddia etmesine rağmen önceleri fazla ilgi görmedi ama kısa süre sonra kuvantum fiziğinin öncülerinden M. Plank, “mor ötesi felaketi” çaresizliğinden L. Boltzman’ın entropi ve olasılık fikirlerine başvurarak kurtulabildi. Sistemin bütününün “makro durum” davranışı S. Boltzman denklemi (S = k . Log W) ile ifade edilir.

Özetle, klasik mekanikte Newton hareket denklemleri ile sistemin davranışı hesaplanır. Termodinamik ise ısı, enerji, entropi gibi makro durum yasalarını belirler. İstatistiksel mekanik her ikisi arasında köprüdür, mikro durumlardan kaynaklanan makro durumların davranışlarını inceler.

Shannon enformasyonu. 1940’lı yıllarda telefon ve telgrafın keşfi ardından Claude Shannon, S. Boltzman’ın istatistiksel dinamik fikrini iletişim alanına uygulamak istedi. AT&T şirketinde çalışırken telefon ve telgraf hatları üzerinden data iletim problemini hızlı ve güvenli şekilde çözmek için kolları sıvadı. 

Bilgi teorisinin temel fikri, bir iletinin bilgi değeri o iletinin içeriğinin ne kadar şaşırtıcı olduğuna bağlıdır. Beklentiler çerçevesinde açıklanan bir veri, rapor vs. fazla ilgi çekmez, şaşırtıcı değildir, enteresan da değildir, sıkıcıdır, sürpriz yoktur. Dolayısıyla, böyle bir ileti çok az yeni bilgi taşır. Oysa bir olayın gerçekleşme olasılığı sürpriz bir şekilde düşükse, çok daha bilgilendiricidir. Örneğin, herhangi bir sayının piyangoda kazanma şansı düşüktür, bilgi içeriği çok azdır, ama belirli bir sayının piyango kazanacağı (her nasılsa) bilgisi değerlidir, çünkü çok düşük bir olasılık konusunda bilgi verir, şaşırtır. 

Entropi-enformasyon (negentropi) ilişkisini vurgulamak için tekrar madeni parayı ele alalım. Termodinamik entropi herhangi bir durumun düzensizliğinin ölçüsü olarak tanımlanmıştı. Madeni paranın (hilesiz) yazı ya da tura gelme olasılığının aynı olması madeni paranın entropisinin maksimum olması demektir. Yazı ya da tura geleceğini önceden bilemeyiz. Seçim yapılmasının da ortalama bir avantajı yoktur, her seferinde bir öncekinden bağımsız sonuç olduğundan her iki olasılık da aynıdır. Shannon, yazı-tura atmanın bir bit entropisi olduğu varsayarak başlar (sonucu önceden kestirmek için bir bit enformasyon yeterli). Ama madeni paranın iki yüzü tura olarak tasarlanırsa hep tura geleceğinden entropisi sıfır olur ve sonuç kesin olarak bilinir (sürpriz yok). Shannon’un enformasyon içeriğinin Boltzman’ın entropi tanımıyla aynı olduğu görülüyor. Shannon 1948 yılında yazdığı makalede enformasyon içeriğinin ileti gönderenin entropisi olarak tanımlamıştı (Shannon entropisi). İçerik bir harf, kelime veya cümle olabilir. 

Boltzman Entropi	Shannon Entropi (Information)
Mikro durumlar: Makro durumların alt kümesi	Mesaj: Sembol, numara veya kelime
Makro durumlar: Mikro durumların toplamı	Mesaj kaynağı: Bir dizi olası mesaj içinde her bir mesajın olasılığı
Entropi S: Tüm alt kümelerin herhangi bir konumda bulunma olasılığı eşit. S (macro durumlar) = k log W  Joules per Kelvin (J/K).	Informasyon içeriği H: Olası mesaj sayısı M ise (tüm mesajların olasılığı aynı)  H (mesaj kaynağı) = log2 M H, mesaj başına bits olarak ölçülür.

Tablo 1.1 Termodinamik entropi ile enformasyon entropisinin karşılaştırılması.

Bilgi işlem (Computation). Bilgisayarın icadından bu yana bilginin işlenmesinde bir hayli yol alındı. Günümüz bilgisayar mimarisinde bilgi işlenmesi genel olarak CPU etrafında hafıza elemanları kullanılarak yapılır ve sonuç çıktı olarak elde edilir. Son yıllarda evrensel (universal) bilgi işlenmesi konusunda daha karmaşık sistemlerin çözümüne yönelik çalışmalar hızla ilerliyor. Evrensel bilgi işlenmesinde (programlanabilir bilgisayar), girdi olarak bilgi yerine karmaşık sistemlerin çözümüne ilişkin yazılımın bütününün kullanılması amaçlanıyor. Ancak, bu tür bilgisayarlar bile her şeyi çözebilirler mi, sınırları var mı?  Bu sorular henüz matematiksel cevap bekliyor.

Ateşan Aybars (21 Mart 2021)

__________________________________

¹ Complexity A Guided Tour, Kindle edition s.43. Melanie Mitchell.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_demon

² Complexity A Guided Tour, Kindle edition s.47. Melanie Mitchell.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann 

³ Complexity A Guided Tour, Kindle edition s.51. Melanie Mitchell.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon  (1916-2001) 

Karmaşıklık (Bölüm 4) (Ateşan Aybars, 14 Mart 2021)

 

Karmaşık sistemlere yaklaşımlar

Karmaşıklık çalışmaları geliştikçe iki farklı belirimi inceleyen iki ayrı alt grup oluşmaya başladı. Karmaşık fiziksel sistemler (KFS) ve karmaşık adaptif sistemler (KAS). Birçok akademisyen bu iki farklı sınıflama yerine, aralarındaki ortak özelliklerin girift ilişkilerinden dolayı, karmaşıklık kavramını bir bütün olarak ele alırlar ve tüm sistemleri, doğa ya da sosyal, birlikte incelerler. Diğer bir kısım akademisyen topluluğu ise her iki sistemin farklı özelliklerinden hareketle daha anlaşılır bir yaklaşımı tercih ediyorlar. Karmaşıklık kavramı birçok disiplini içerdiğinden bende ikinci yaklaşımı tercih ediyorum.

Karmaşık fiziksel sistemler: Bu tür sistemlerde hücresel otomata denilen elemanlarla geometrik düzenekler üzerinde modelleme yapılır. Dama tahtası benzeri düzeneklerde, hücresel otomata etkileşimi sadece komşu hücrelerle ve basit ama tanımlı kurallara göre gerçekleşir. 1956 yılında Von Neumann bu tür bir basit düzenek üzerinde, hücresel otomata etkileşimleri sonucunda kendi kendini yaratan yapılanmalar gözledi. Oysa o zamana kadar kendi kendini yaratmak sadece biyolojiye ait bir özellik olarak düşünülüyordu.

Karmaşık adaptif sistemler: Genel sistem teorisi ile başlayan sistem sınıflandırılmasına göre anlaşılması daha zor olan sistemlerdir. Karmaşık fiziksel sistemlerden farklı olarak karmaşık adaptif sistem elemanı ajan (agent) olarak bilinir ve sabit değildir. Ajanlar çevre ile etkileşimlerinden öğrenir ve evrimleşirler, örgütlenmelerini bir üst hiyerarşiye aktarırlar. Örneğin, borsalarda alım satım yapan bireyler (ajanlar) ekonomik verilere göre sürekli olarak pozisyonlarını değiştirirler ve bu etkileşim faaliyetleri çok defa bireylerin davranışını (hırs ya da korkularını) besleyerek ekonomik çöküş ya da balonlara yol açar. 21. yüzyılın meydan okuyan uğraşı alanları olarak bağışıklık sisteminin iyileştirilmesi, sürdürülebilir ekolojik sistem, zihinsel bozuklukların tedavi edilmesi, küresel ticaretin düzenlenmesi gibi önemli konuların çözümleri için üst hiyerarşideki karmaşık adaptif sistemlerde en alt hiyerarşideki ajanlar arasındaki etkileşimlerin anlaşılması gerekir. Örneğin, yağmur ormanlarında sık sık yağan yağmur toprakta bulunan besleyici maddeleri en yakın su akıntılarına taşır ama bu besleyici maddelerin eksikliği ormanın sakinleri tarafından çeşitli havzalarda toplanır. Karmaşık ekolojik zincirde, en basit canlılar bile çeşitli etkileşimleri sayesinde canlılıklarını sürdürürler. Orman sakinleri çevre koşullarına uyum sağladıkça yeni sakinler belirir ve yeni etkileşimlerle sistem daha karmaşık bir seviyeye sürüklenir. Dolayısıyla, karmaşık sistemlerin analiz edilmesi hatta tanımlanabilmesi bile karmaşık geri bildirim çevrimlerinden dolayı oldukça zordur.   

Karmaşık fiziksel sistemlerde yasalar, belirli bir başlangıç durumunun nasıl değişebileceğini sınırlar ve genellikle kısmi diferansiyel denklemlerle formüle edilebilir. Denklemin değişkenleri, Newton denklemlerindeki pozisyon, momentum, zaman gibi sistem hâllerini belirler. Kısmi diferansiyel denklemlerin sonuçları genellikle aritmetik olarak toplanabilir. Yani, tipik bir fizik sisteminde bütünün, kabaca parçalarının toplamına eşit olması kısmi diferansiyel denklemlerin kullanılmasını mümkün kılar. Ancak, bunun kesin olmadığını daha sonra açıklamaya çalışacağım.

Karmaşık adaptif sistemlerde ise çevre koşullarına uyum sağlayan, değişen adaptif ajanların sürekli yapılanmaları analiz yapılmasını zorlaştırır. Öncelikle, ajanlar arasındaki etkileşimler doğrusal olarak toplanamaz. Doğrusalsız (non-linear) olan bu özellik, kısmi diferansiyel denklemlerin kullanılmasını engeller. Yani, kendiliğinden yapılanmanın sonucu olarak belirimin neden olduğu sinerjik toplam, matematik veya bilimsel yöntemlerle tanımlanamaz. Dolayısıyla, biyoloji, ekonomi, sosyal bilimler ve kültür gibi alanlara ait karmaşık adaptif sistemler için standart bir dil olmadığından formülasyonu son derece zordur. Karmaşık adaptif sistemleri bu çıkmazdan bir adım öteye taşımak için veri toplayıp organize etmek yerine çok sayıda ajanın etkileşimini açıklayacak ortak bir dile ihtiyaç vardır. Noam Chomsky’nin “universal grammar-UG” denilen dil bilimi çalışmalarına benzer çalışmalar karmaşık adaptif sistemler için ortak bir dil özlemini zaman içinde yerine getirebilir. 

Ateşan Aybars (14 Mart 2021)

¹ İngilizce de cellular automaton (CA) tekili, cellular automata çoğulu (CAs) ifade eder. Türkçe ile ifade edildiğinde hücresel otomata tekil anlamında kullanılıyor. Çoğulu hücresel otomatalar.

² Karmaşıklık ekonomisinde ajan birey olarak kullanılacaktır.

Karmaşıklık (Bölüm 3) (Ateşan Aybars, 6 Mart 2021)

 

Karmaşıklık sorusuna çözüm arayışları

70 yıl önce W. Weaver’in karmaşıklık üzerine hazırladığı aşağıdaki mükemmel soru listesi günümüzde hâlâ açıklığa kavuşmuş değil. Bu sorulardan bir kısmı şöyle:

Biyokimyasal anlamda yaşlanmanın reçetesi nedir?

Gen nedir ve canlı organizmanın orijinal kodları yetişkin karakteristiklerini nasıl ifade eder?

Buğday fiyatlarını hangi faktörler belirler veya döviz fiyatları akıllı ve etkin bir şekilde nasıl stabilize edilir?

Sendikalar, üreticiler ya da etnik azınlıktan oluşan topluluğun davranış biçimi nasıl açıklanır?

Bu tür organize karmaşık problemlerin çözümü, 19. yüzyılın birkaç değişkenli basitlik problemlerinin çözümleri gibi yapılamaz. Ayrıca, organize olmayan karmaşık problemlerin çözümünde kullanılan istatistiksel mekanik yöntemleri de işe yaramaz. Organize karmaşık problemlerin çözümü için bilim yeni bir sıçrama, muhtemel bir paradigma değişimi ile holistik bir çözüm yaklaşımı benimsemelidir. Bu bilimsel sıçrama, 19. yüzyıl başarısı olarak basitlik probleminin çözümünden ve 20. yüzyıl başarısı olarak organize olmayan karmaşıklık konularındaki sıçramalardan daha da önemli olmalıdır. Önümüzdeki 50 yıl için bilimin, organize karmaşıklık ya da “Post Newtonyan Paradigma” olarak ortaya çıkan yeni bilimin meydan okuması ile karşı karşıya olduğu söylenebilir. 

Geçmişte basit bir sıfat olarak kullanılan “karmaşıklık” şimdilerde birçok değişkenin etkileşim içinde olduğu, çok farklı bilimsel alanları kapsıyor. Tropikal yağmur ormanı, karmaşık bir sistemin en iyi örneğini sunar. Yağmur ormanı sayısız farklı tür barındırır, aynı ağaç türünü iki kez görmeden yüzlerce adım yürüyebilirsiniz. Tek bir ağaç binden fazla farklı böcek türüne ev sahipliği yapabilir. Bu türler arasında karmaşık etkileşimler süregider. Bir bakış açısıyla bu yemyeşil, kalıcı çeşitlilik neredeyse paradoksaldır, çünkü tropik yağmur ormanları en fakir topraklarda gelişir yağmur tüm besin maddelerini en yakın su akıntısına doğru sürükler. Pek çok sistem benzer karmaşıklıklar göstermektedir, bu çeşitliliği mümkün kılan nedir? Borsalarda alıcı ve satıcı faaliyetleri ile çalkalanan piyasalar; işçiler, yöneticiler, şirketler ve sanayi hiyerarşisiyle ekonomiler; biyolojide protein, zar, organeller, hücreler ve organlardan oluşan çok hücreli organizmalar; internet kullanıcıları, tedarikçiler, server’ler ve web siteleriyle internet organize karmaşık sistemlerin örnekleri olarak sayılabilir. Tüm bu karmaşık sistemlerin her biri, 2.500 yıl önce Aristo’nun “bütün parçalarından fazladır” söylemindeki sinerji, kendiliğinden örgütlenme ve belirim özelliği ile bildik sistemlerden farklılaşırlar. Herhangi bir sistemin elemanları arasındaki etkileşimi basit bir benzetme ile açıklayayım; market alışverişinde bir kimsenin o ya da bu marka zeytinyağı satın alması diğer müşteriyi etkilemez, her birey bağımsız olarak karar alabilir ama otoyolda hızla araba süren kişi diğer sürücülerle doğrusalsız bir etkileşim içindedir. Sürücüler koşullara ve çevreye uymaya çalışırlar. Tüm sürücüler arasında çevreye uyum konusunda kurallar vardır. Sürücülerin yolun sağından gitmesi herkes için tercihtir, aksi yönde araba sürmenin (maganda olmadıkça) bir avantajı yoktur. 

Diğer sürücülerin koşullara ve çevreye uyma çabası (yeniden örgütlenmesı) hızlı araba süren kişiye ve kurallara bağlıdır.

Karmaşık sistemlerin çözümü, modern fizikten farklı olarak zarif, derli toplu, sade ve kusursuz denklemler şeklinde elde edilemez. Newton’un momentum korunumu yasası ya da Maxwell elektro-manyetik alan denklemleri sade ve zariftir ama insan genomu, beyin veya sosyal bir toplumun nitelikleri, edebiyat tarihi gibi karmaşık sistemleri zarif denklemlerle ifade edebilmek mümkün değildir. Karmaşık sistemler varlıklarını sürdürebilmek (entropik denge) için çevresinden enerji alan yitirgen yapılardır ve bu özelliği ile kendiliğinden örgütlenme kavramlarının açıklanması, Newton ya da Maxwell denklemlerinde olduğu gibi basit değildir. 

Karmaşık sistemler, paradoks gibi görünse de, kendisini karmaşık yapan değişkenlere rağmen dengeli bir sistem olabilir. Örneğin, ekonomide bazı sektörler karmaşıklık göstermezken diğerleri gösterebilir. Küresel günlük petrol tüketimi miktarı kolayca hesaplanabilir ve kabaca dengelidir ama petrol fiyatının ne olacağı sorusu birçok faktörün etkileşiminden dolayı karmaşıktır.

Karmaşık sistemler için basit bir tanım şöyle olabilir; parçalarının etkileşimiyle kendiliğinden örgütlenen sistemlerdir. Elbette, bu çok basit bir tanım olabilir ancak, farklı disiplinlerden bilim insanlarının ortak çalışmaları sürüyor. Bu çalışmalar, doğrusalsız dinamik sistem terminolojisinin ortak bir bilim diline doğru şekillenmesini kolaylıyacaktır. Newton’un (G. Leibniz ile birlikte) fizik bilimini açıklamak için kalkülüs icat etmesi gibi karmaşıklık bilimi de çeşitli modelleme ve simülasyonlarla kendi bilim dilini geliştirmek durumundadır.

Son olarak, önde gelen bilim insanların kendi ilgi alanlarına göre çeşitli sistem tanımı yaptıklarını söylemiştim. Bu nedenle ekoloji, biyoloji, sosyal topluluk davranışları, siyaset vs. alanlarında farklı tanımlar görülüyor. Dahası farklı alanlarda farklı yasaların bile gözlendiği anlaşılıyor. Oysaki holistik yaklaşım ortak bir erek, bilimsel uzlaşma ve bunun sonucu olarak karmaşık sistemlerin yeni bilim olarak öne çıkmasını hızlandıracaktır. 

Ateşan Aybars (6 Mart 2021)