Karmaşıklık (Bölüm 7) (Ateşan Aybars, 4 Nisan 2021)

 

Karmaşık Sistemlerde Ölçekleme (Scaling)

Benzeşik ve fraktal yapılarla ilişkili olan ölçekleme kavramı karmaşık fiziksel ve karmaşık adaptif sistemlerin anlaşılmasında önemli rol oynar. Fraktallerin boyuta göre değişmezlik özelliği vardır. Boyut ne kadar küçülürse küçülsün bütünün tüm özelliklerini taşır. 

Zipf yasası, ölçekleme için iyi bir örnektir. Bu yasaya göre herhangi bir dilde en çok (sıklıkta) kullanılan kelime bir sonraki en çok kullanılan kelimeden iki kat, üçüncü en çok kullanılan kelimeden üç kat daha sık gözlenir ve böylece devam eder. Kelimelerin kullanım sıklığı (1., 2., 3., vs.) ve sıklığa göre sıralaması grafik olarak gösterilirse üstel bir ilişki olduğu ortaya çıkar. Bu ilişki üstellik yasası (power law) olarak bilinir.

Şekil 1.2.13.Yatay eksen kelimelerin sıralanmasını (derecesini), düşey eksen ise her bir kelimenin kullanım sıklığını gösterir.  

Son yıllarda gerek karmaşık sistemlerin analizinde gerek biyolojide çok ses getiren tartışmalı konu olarak metabolik oran tartışmasına kısaca bakalım. Canlı sistemlerde her bir hücre gıdayı enerjiye dönüştürmek üzere metabolik reaksiyondan geçer ve tanım olarak metabolik oran, organizmanın birim zamanda harcadığı enerjidir. İki farklı kütlesi ve yüzeyi olan örneğin, fare ve filin metabolik faaliyetlerini karşılaştırmak için kütlelerini kürenin hacmi, yüzeylerini kürenin yüzeyi gibi varsayalım ve hesaplamalar için basit Öklid geometrisini kullanalım. Kürenin hacmi, V = 4/3𝝅r³, yüzeyi ise, S = 4𝝅r² . Yarıçap (r) büyüdükçe kürenin hacmi yüzeyine kıyasla daha fazla artar. Açıklamak gerekirse, fareye kıyasla filin kütlesel hacmi büyük olduğundan metabolik faaliyetleri sonucu oluşan ısıyı fareye kıyasla daha düşük yüzey üzerinden atmak zorundadır. Bu durumda filin vücut ısısının çok fazla artması gerekir ki bunun böyle olmadığını biliyoruz. 19. yüzyıl biyologlarına göre metabolik faaliyetlerde, sınırlı yüzeyden ısının dağıtılması için metabolik oranın (ısı artış oranının) azalması gerektiği ve 2/3 üstellik yasasının (Kleiber yasası) makul olduğu kabul edilmiş ve 60 yıl boyunca bu konu sorgulanmamış. Herhâlde, kimse metabolik oranın kütle ile orantılı ölçeklemesini anlamamış olmalı. Ancak, 20. yüzyıl sonlarına doğru bazı araştırmacılar, karşıt görüşler olmasına rağmen, yasayı sorgulamaya başladılar, Kleiber yasasının kuşkulu olduğunu ve bunu düzeltmenin gerektiğini göstermeye çalıştılar. 

Şekil 1.2.14’de çeşitli canlılar için metabolik oranının kütle ile ölçeklendirilmesi gösterilmiştir. Elde edilen eğrinin eğimi 2/3  kuvveti (yüzey alanı/hacim) yerine 3/4 kuvvetine göre değişiyor ve her bir canlı için toplanan verilerin de bunu teyit ettiği iddia ediliyor. 

       

Şekil 1.2.14 Çeşitli canlılar için kütle ve metabolik oran ilişkisi. Aslında bu ilişki eğrisi 2/3 üstellik yasası olarak biliniyor ama pratik ölçümler ilişki eğrisinin eğiminin 3/4 yasasına göre olduğunu gösteriyor. Kaynak; Complexity, M.Mitchell

Diğer bir argüman Şekil 1.2.14’te sağdaki iki kuvvet eğrisinin (2/3 ve 3/4)  karşılaştırılmasından kaynaklanıyor. Canlıların metabolik oranlarının daha verimli olması evrim gereğidir. Bu anlamda daha yüksek metabolik oran, gerekli besinin hücrelere dağılıp enerjiye çevriminin daha verimli olması demektir. Metabolik oran açısından daha verimli olan 3/4 üstellik yasası kabul edilirse, kütle/yüzey alanı oranındaki sınır engelinin evrim sürecinde canlıların lehine değiştiğini düşünmek makul bir varsayım olmalıdır. 

1990’lı yıllarda matematikçi ve fizikçi Geoffrey West, ekolojist James Brown ve biyolojist Brian Enquist metabolik oran meselesine farklı bir açıdan yaklaştılar. Metabolik ölçeklendirme oranını (ve diğer biyolojik oranları) yüzey alanı ile sınırlamayıp enerji ve madde dağıtım sisteminin yapısallığına yöneldiler. 

West, Brown ve Enquist metabolik ölçekleme teorisini ortaya attıktan sonra açıklamak amacıyla üç varsayım önerdiler. 

1. Network dağılım varsayımı. Kılcal damarlara kadar daralan ağ çatallanmaları, hücreler arasında minumum boşluk bırakmak amacıyla, taşıdığı besini optimal ya da en verimli şekilde 3 boyutlu organın her bir hücresine ulaştırmaya çalışır. 
2. Network’un en küçük çatallanmaları (kılcal damarlar) canlıların kütlesine göre değişmez, fare veya fil olsun kılcal damarlar büyüklük olarak aynıdır, sadece filin daha fazla hücresi ve daha fazla kılcal damarı vardır.
3. Network tasarımı, besinin dağıtılması için gerekli toplam enerjinin en az seviyede olması üzerine evrimleşmiştir.

Network dağıtım sistemi ya da metabolik dolaşım fizyolojik olarak fraktal yapılardan oluşur. Öklid geometrisi (2/3 üstellik yasası) metabolik oran ölçeklenmesi için uygun değildir, yerine fraktal geometri kullanılmalıdır. West, Brown ve Enquist, neden metabolik oranın kütle ile 3/4 üstellik yasasına göre hesaplanması gerektiğini karmaşık fizik ve matematik modelleme ve denklemleriyle açıkladılar. Açıklamalarının özeti, metabolik oranın kütle (hacim) ile ölçeklendirilmesi aynı yüzey alanının hacim ile ölçeklendirilmesi gibidir, ancak geometrik ölçeklendirme üç boyutlu değil, dört boyutludur. Canlılar üç boyutlu bir evrende yaşamalarına rağmen mikro fizyolojik anatomik yapıları fraktal yapılarından dolayı adeta dört boyut içinde hareket eder. Sağduyumuza aykırı gelse de fraktal boyutluluk oldukça gizemli ve ölçümü nasıl yapıldığına bağlı olarak farklı sonuçlara götürür. Bir futbol topu yakından bakıldığında küre gibi görünür ama çok uzakta olduğunda daire olarak görünecektir. Kılcal damarların fraktal yapısı maksimum verimlilik için minumum alan kaplar ama minumum alan çabası zamanı da verimli kullanmayı içerir. Dolayısıyla, makro seviyede çevre ile ilişkilerimiz üç boyutlu algılanırken mikro seviyede iç yapımızın fonksiyonları adeta dört boyutlu işlev görür. 

Şimdilik 3/4 üstellik yasası başta biyolog topluluğu olmak üzere çeşitli disiplinler tarafından tartışılıyor. Modelin enteresan ve zarif olmasına karşı matematik olarak hatalı olduğu ve 3/4’ün doğru üstel olmadığı gibi birçok eleştiri devam ediyor. 

Ateşan Aybars (4 Nisan 2021)

¹ https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law 

Scale free, Long tail, Fat tail ya da Power law kavramlarının hepsi üstellik yasası olarak bilinir. Türkçede tam olarak üstelliği ifade etmese de kuvvet yasası olarak kullanılır.

² https://youtu.be/hCS9MU_RX1c.  Complexity Explorer, metabolic scaling.

³ Çok iddialı bir ifade olmasına rağmen üzerinde çeşitli tartışmalar yapılmaktadır. Ancak, kuvantum fiziğinin (kuvantum biyoloji gibi) çeşitli alanlarda yeni teorilerle ortaya çıkması yeni bilim anlayışının yaygınlaşması sevindiricidir. Zaten, birçok kuvantum kavramının açıklanmasından sonra günümüze kadar sayısız uygulaması gerçekleştirilmiştir ve bu sürecin devam etmesini beklemek son derece mantıklıdır.