Milenyum Problemleri ve Yeni Bir Matematiğin Gerekliliği (Mustafa Özcan, 7 Mart 2014)

Milenyum Problemleri ve Yeni Bir Matematiğin Gerekliliği

Clay Matematik Enstitüsü (*), 2000’nin başında Milenyum (Binyıl) Problemleri diye adlandırdığı matematiğin farklı dallarında hala çözülmemiş, zor yedi sorunu belirleyerek her birini çözene birer milyon dolar ödül vereceğini ilan etti. Böylece, bir bakıma, 21. Yüzyılda yapılacak çözülememiş problemler konusundaki matematiksel çalışmalar için bir asır boyunca sürecek olan yedi doruk hedefin ne olduğunu belirlemiş oldu.

Clay Enstitüsü'nün tespit ettiği problemler listesinin içeriği şöyledir:

1.    Birch-Swinnerton-Dyer Konjektürü

2.    Hodge Konjektürü

3.    Navier-Stokes Denklemi Problemi

4.    P=NP Denklemi Problemi

5.    Riemann Hipotezi

6.    Yang-Mills Kuramı Denklemi Problemi

7.    Poincaré Konjektürü

Ayrıca eğer Riemann Hipotezi, P=NP Denklemi, Hodge Konjektürü (kestirimi, tahmini varsayımı), Yang-Mills Kuramı, Poincare Konjektürü, Navier Stokes Denklemi, Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü problemlerden birinin çözümü bulunduğunda Clay Matematik Enstitüsü'ne göndermeden önce ilkin muhakkak uluslar arası kabul gören hakemli bir dergide yayımlatılması gerekmektedir (**).

Buna benzer bir girişim bir asır önce de 1900 yılında ünlü matematikçi David Hilbert tarafından 20. Yüzyıl için de yapılmıştı. Albert Einstein’in de hocası olan Hilbert 23 adet (***) çözülememiş problemi listeleyerek ilk defa böyle bir girişimi başlatan kişi olmuştu. Hem o günkü hem de bugünkü listede yer alan tek çözülmemiş problemse listede beşinci sıradaki G.F.B. Riemann tarafından 1859 yılında formüle edilmiş olan asal sayıların dağılım ile ilgili hipotez (varsayım) dir.

Ödüllü Yedi Milenyum Problemi listesinde yüzyıl sonra dahi yer işgal ediyor olması bu sorunun ne denli çetrefil olduğu ve çözüm için derinlikli ve farklı bir algoritma gerektirdiğini göstermesi bakımından çok önemlidir diye düşünüyorum.  

Bu matematiksel sorunun diğerleri gibi binyılı başlatan bu yüzyıl içinde çözümü bulunacak bir sorun değil de çözümü belki de tam binyıl tutacak bir sorun olarak kayda geçmesi gerektiği yönünde tarihe not düşülmesinin yerinde olacağına inanıyorum.

Çünkü yedi problemden biri olan Henri Pointcaré Konjektürü daha 2006 yılında resmi olarak teorem statüsüne yükseldi. Yani problem çözüldü. Çözüme ulaşan kişi ise Rusya’daki Sen Petersburg Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grigori Perelman oldu. 2002 yılında yayımladığı kanıtın doğruluğu Dünya Matematikçiler Birliği'nce 2006 yılında yapılan kongrede resmen kabul edildi.

Diğer bir problem olan Navier-Stokes Denklemleri'nin de çözüldüğü gene 2006 yılında duyurulsa da çözüm yeterince tatminkar görülmüş olmasa gerekir ki konu ile ilgili değerlendirmelerin tamamlandığına dair henüz bir bilgiye ben şahsen ulaşmış değilim.

Öte yandan deneyler ve bilgisayar destekli simülasyonları Yang-Mills Denklemleri’nin kuantum sürümlerinin çözümleri "kütlesel bir boşluk"un var olduğunu düşündürmektedir. Ama bu özelliğin hiçbir kanıtı bilinmektedir.

Doğaldır ki gerçek matematik sevdalıları parasal ödül için değil matematik yapmayı sevdikleri için bu tür uğraşlara girmekten kaçınmamaktadır. Bu da matematik sevdalıları sırf başarılı olmak için zor ve karmaşık bu sorunları çözmeye yönelik böyle olağan üstü çabalar göstermesi gerçekten de takdire şayan bir husustur.

Bu sorunların, uzun yıllar boyu çözülmeye ısrarla direnen cinsten olmaları bunların aynı zamanda matematiğin standartlarını değiştirecek nitelikte çözüm gerektirir olmalarından ileri gelmektedir. Diğer bir deyişle de burada şimdikinden ayrı bir mantıksallığa oturtulmuş algoritmalar, yani yeni bir tür mantıksallığı ortaya koyacak yeni kavrayış biçimlerinin benimsenmesi gerektiği sonucu dahi çıkarılabilir.

Nitekim iteratif çözümlerde ve benzetimlerde kullanılan bilgisayarlı tekniklerin olağan üstü gücünün desteğinde dahi tatmin edici sonuçlara ulaşılamaması burada matematiğin standart yapısı dışında bir yaklaşım gerektirdiği anlamına gelmektedir. Başka bir deyişle, mevcut matematik kavrayışı, anlayışı ve yaklaşımı bu sorunların çözümü için yeterli kapasite ve olanak sunamamaktadır.

Bu görüngeden bakıldığında Binyıl Problemleri’ni anlamak için muhakkak üniversite matematiği tahsiline dayalı matematik sahibi olmanın gerekli olmadığı da anlaşılmaktadır.  Başka bir deyişle, burada ‘doğal mantıksallık’ yolu ile çözüme elveren yeni bir matematiksel düşünüş, kavrayış biçimi oluşturulduğunda sonuca ulaşma koşullarının yaratılabileceği anlamına çıkmaktadır.

Örneğin Riemann Hipotezi sorununu çözemeye çalışanın çoğunlukla şimdiye dek alışıla geldiği gibi sadece Fermat'ın son teoremini, Goldbach ya da İkiz Asallar Kestirimi’ni mevcut matematik standartları çerçevesinde anlamaktan daha fazlasını ortaya koymanın  gerekli olduğunu düşünüyorum.

Belki de bu konuda ABD’li matematikçi Hugh Montgomery (****) ‘nin yaptığı gibi asal sayı dağılımındaki aralıkların örüntüsü ile atom çekirdeği enerji düzeylerinin örüntüsü arasında benzeşim (analoji) kurmak gerekmektedir.  

Mustafa Özcan (7 Mart 2014)

________________

(*) ABD’nde Cambridge Massachusetts'de bulunmaktadır.

(**) Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org
(***) Hilbert’in bir asal sayı olan 23’ü seçmiş olması oldukça manidardır. Bu daha pek çok önemli olguda olduğu gibi insandaki kromozon çiftinin de sayısıdır.
(****) http://en.wikipedia.org/wiki/Hugh_Montgomery_(mathematician)